Um bloco cúbico de massa 10 kg e de aresta de 250 mm é puxado para cima em uma superfície inclinada, sobre o qual há um filme de óleo SAE
de espessura
. Determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado. Se uma força de 75 N for aplicada para puxar o bloco para cima da superfície inclinada, determine a velocidade constante de subida do bloco. Se agora a força for aplicada para puxar o bloco para baixo, determine a velocidade constante do bloco. Considere que a distribuição de velocidade do bloco no filme seja linear. A superfície está inclinada de
a partir da horizontal.
Passo 1
Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que se pede, sem resolver nada ainda.
- Massa do bloco:
. - Aresta do cubo:
. Área de contato com a superfície: . - Espessura do filme de óleo:
. - Óleo: SAE 10W-30 à
. (O enunciado não dá explicitamente o valor da viscosidade dinâmico ; por isso vou assumir um valor típico para esse óleo nessa temperatura. Ver explicação abaixo.) - Inclinação:
. - A distribuição de velocidade no filme é linear (isto implica um escoamento tipo Couette simples).
- Força aplicada nas duas situações:
(uma vez aplicada para puxar para cima; outra vez aplicada para puxar para baixo). - O que se pede:
- Velocidade constante do bloco quando liberado (sem força externa além do peso).
- Velocidade constante do bloco quando uma força de
é aplicada para puxá-lo para cima. - Velocidade constante do bloco quando a mesma força de
é aplicada para puxá-lo para baixo.
Observação sobre a viscosidade: para prosseguir numericamente é necessário usar a viscosidade dinâmica
do óleo a
. Vou usar um valor típico aproximado para SAE 10W-30 nessa temperatura:
. Este valor é razoável para óleos SAE 10W-30 próximos de
C (a viscosidade sobe bastante em baixas temperaturas). Se houver uma tabela do fabricante que forneça outro
, basta substituir nos passos seguintes.
Passo 2
Entender a física do problema e escrever a expressão do esforço viscoso (a “força de atrito” do filme).
- Como a distribuição de velocidade no filme é linear, o perfil de velocidade entre a superfície fixa (plano inclinado) e o fundo do bloco que se move a velocidade
é uma rampa: velocidade varia de (na placa fixa) até (na face do bloco) em uma distância . Portanto a taxa de deformação (taxa de cisalhamento) é
- Para um fluido newtoniano (modelo aplicável aqui), a tensão de cisalhamento (shear stress)
é dada por
onde
é a viscosidade dinâmica (unidade
).
- A força viscosa total que age sobre a face do bloco (oposição ao movimento) é a tensão vezes a área:
Aqui explicando cada símbolo:
-
: velocidade relativa do bloco em relação à superfície (m/s). -
: espessura do filme (m). -
: viscosidade dinâmica do óleo (Pa·s). -
: área de contato do bloco com o filme (m^2). -
: força resistiva viscosa (N).
Passo 3
Força motriz gravitacional na direção do declive e balanço de forças para movimento with constant speed.
- A componente do peso do bloco ao longo do plano inclinado é
onde
e
.
- Em regime de velocidade constante (movimento com velocidade constante), a soma das forças na direção do plano deve ser zero (aceleração nula). Assim, dependendo do sentido do movimento, o balanço será entre as forças motrizes (peso e/ou força aplicada) e a força viscosa
.
Vou usar este balanço nas três situações.
Passo 4
Caso 1 — bloco liberado (sem força externa). Montar a equação e resolver para
.
- Força que puxa o bloco para baixo do plano é
. Se o bloco for liberado de repouso sobre o filme, ele tenderia a escorregar para baixo; mas o enunciado pergunta “determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado” — isto significa que o bloco alcança uma velocidade terminal tal que a força viscosa equilibra a componente do peso. Assim o equilíbrio é
- Isolando
:
- Agora substituindo numericamente (usando
):
- Calculemos passo a passo:
(Arredondando razoavelmente,
.)
Passo 5
Caso 2 — força de
aplicada para puxar o bloco para cima. Montar o balanço e resolver.
- Agora há uma força aplicada
no sentido PARA CIMA ao longo do plano. Para movimento para cima com velocidade constante, a força aplicada deve vencer a componente do peso para baixo e também a força viscosa que resiste o movimento para cima. O balanço é:
desde que
(para que o bloco realmente suba com velocidade positiva).
- Isolando
:
- Substituindo números:
(Arredondando,
.)
Passo 6
Caso 3 — mesma força de
aplicada, mas puxando para baixo (força no sentido descendente). Montar o balanço e resolver.
- Agora a força aplicada e a componente do peso atuam no mesmo sentido (para baixo). Para movimento para baixo com velocidade constante, a força viscosa se opõe para cima, e o equilíbrio é:
- Assim
- Substituindo valores:
(Arredondando,
.)
Passo 7
Resumo e observações finais (didáticas e de interpretação):
- A fórmula geral usada foi a do escoamento de Couette simples entre duas placas:
. Isso vale porque o filme é fino e a distribuição de velocidade foi dada como linear. - A força viscosa total é
. - Em regime estacionário, a força viscosa equilibra as forças motrizes ao longo do plano; por isso isolamos
nos três cenários. - Importante: os valores numéricos dependem fortemente do valor adotado para
. Usei como aproximação típica para SAE 10W-30 perto de C. Se houver uma tabela do fabricante com outro valor, substituir nas fórmulas e recalcular diretamente (a velocidade é inversamente proporcional a ).