Um bloco cúbico de massa 10 kg e de aresta de 250 mm é puxado para cima em uma superfície inclinada, sobre o qual há um filme de óleo SAE 10 \mathrm{~W}-30 \mathrm{a}-1,1^{\circ} \mathrm{C} de espessura 0,025 \mathrm{~mm}. Determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado. Se uma força de 75 N for aplicada para puxar o bloco para cima da superfície inclinada, determine a velocidade constante de subida do bloco. Se agora a força for aplicada para puxar o bloco para baixo, determine a velocidade constante do bloco. Considere que a distribuição de velocidade do bloco no filme seja linear. A superfície está inclinada de 30^{\circ} a partir da horizontal.

Passo 1

Vou listar claramente os dados que o enunciado fornece e o que se pede, sem resolver nada ainda.
  • Massa do bloco: m=10\\ \mathrm{kg}.
  • Aresta do cubo: a=250\\ \mathrm{mm}=0,25\\ \mathrm{m}. Área de contato com a superfície: \displaystyle A=a^2=(0,25)^2=0,0625\\ \mathrm{m^2}.
  • Espessura do filme de óleo: \displaystyle h=0,025\\ \mathrm{mm}=2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • Óleo: SAE 10W-30 à -1{,}1^\circ\mathrm{C}. (O enunciado não dá explicitamente o valor da viscosidade dinâmico \mu; por isso vou assumir um valor típico para esse óleo nessa temperatura. Ver explicação abaixo.)
  • Inclinação: \theta=30^\circ.
  • A distribuição de velocidade no filme é linear (isto implica um escoamento tipo Couette simples).
  • Força aplicada nas duas situações: F=75\\ \mathrm{N} (uma vez aplicada para puxar para cima; outra vez aplicada para puxar para baixo).
  • O que se pede:
    1. Velocidade constante do bloco quando liberado (sem força externa além do peso).
    2. Velocidade constante do bloco quando uma força de 75\\ \mathrm{N} é aplicada para puxá-lo para cima.
    3. Velocidade constante do bloco quando a mesma força de 75\\ \mathrm{N} é aplicada para puxá-lo para baixo.
Observação sobre a viscosidade: para prosseguir numericamente é necessário usar a viscosidade dinâmica \mu do óleo a -1{,}1^\circ\mathrm{C}. Vou usar um valor típico aproximado para SAE 10W-30 nessa temperatura: \displaystyle \mu=0{,}27\\ \mathrm{Pa\cdot s}. Este valor é razoável para óleos SAE 10W-30 próximos de 0^\circC (a viscosidade sobe bastante em baixas temperaturas). Se houver uma tabela do fabricante que forneça outro \mu, basta substituir nos passos seguintes.

Passo 2

Entender a física do problema e escrever a expressão do esforço viscoso (a “força de atrito” do filme).
  • Como a distribuição de velocidade no filme é linear, o perfil de velocidade entre a superfície fixa (plano inclinado) e o fundo do bloco que se move a velocidade V é uma rampa: velocidade varia de 0 (na placa fixa) até V (na face do bloco) em uma distância h. Portanto a taxa de deformação (taxa de cisalhamento) é
\frac{dv}{dy}=\frac{V-0}{h}=\frac{V}{h}.
  • Para um fluido newtoniano (modelo aplicável aqui), a tensão de cisalhamento (shear stress) \tau é dada por
\tau=\mu\frac{dv}{dy}=\mu\frac{V}{h},
onde \mu é a viscosidade dinâmica (unidade \mathrm{Pa\cdot s}).
  • A força viscosa total que age sobre a face do bloco (oposição ao movimento) é a tensão vezes a área:
F_{\mathrm{visc}}=\tau\cdot A=\mu\frac{V}{h}A.
Aqui explicando cada símbolo:
  • V: velocidade relativa do bloco em relação à superfície (m/s).
  • h: espessura do filme (m).
  • \mu: viscosidade dinâmica do óleo (Pa·s).
  • A: área de contato do bloco com o filme (m^2).
  • F_{\mathrm{visc}}: força resistiva viscosa (N).

Passo 3

Força motriz gravitacional na direção do declive e balanço de forças para movimento with constant speed.
  • A componente do peso do bloco ao longo do plano inclinado é
F_g = mg\sin\theta,
onde g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} e \sin30^\circ=0{,}5.
  • Em regime de velocidade constante (movimento com velocidade constante), a soma das forças na direção do plano deve ser zero (aceleração nula). Assim, dependendo do sentido do movimento, o balanço será entre as forças motrizes (peso e/ou força aplicada) e a força viscosa \mu\frac{V}{h}A.
Vou usar este balanço nas três situações.

Passo 4

Caso 1 — bloco liberado (sem força externa). Montar a equação e resolver para V.
  • Força que puxa o bloco para baixo do plano é F_g=mg\sin\theta. Se o bloco for liberado de repouso sobre o filme, ele tenderia a escorregar para baixo; mas o enunciado pergunta “determine a velocidade constante do bloco se ele for liberado” — isto significa que o bloco alcança uma velocidade terminal tal que a força viscosa equilibra a componente do peso. Assim o equilíbrio é
\mu\frac{V}{h}A = mg\sin\theta.
  • Isolando V:
V=\frac{mg\sin\theta}{\mu}\frac{h}{A}.
  • Agora substituindo numericamente (usando \mu=0{,}27\\ \mathrm{Pa\cdot s}):
mg\sin\theta = 10\cdot 9{,}81\cdot\sin30^\circ = 10\cdot 9{,}81\cdot 0{,}5 = 49{,}05\\ \mathrm{N}.
h=2{,}5\times10^{-5}\\ \mathrm{m},\qquad A=0{,}0625\\ \mathrm{m^2}.
V=\frac{49{,}05\cdot\left(2{,}5\times10^{-5}\right)}{0{,}27\cdot 0{,}0625}.
  • Calculemos passo a passo:
\text{numerador}=49{,}05\times 2{,}5\times10^{-5}=0{,}00122625.
\text{denominador}=0{,}27\times 0{,}0625=0{,}016875.
V=\frac{0{,}00122625}{0{,}016875}\approx 0{,}07266\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando razoavelmente, V\approx 0{,}0727\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 5

Caso 2 — força de 75\\ \mathrm{N} aplicada para puxar o bloco para cima. Montar o balanço e resolver.
  • Agora há uma força aplicada F=75\\ \mathrm{N} no sentido PARA CIMA ao longo do plano. Para movimento para cima com velocidade constante, a força aplicada deve vencer a componente do peso para baixo e também a força viscosa que resiste o movimento para cima. O balanço é:
\mu\frac{V}{h}A = F - mg\sin\theta,
desde que F>mg\sin\theta (para que o bloco realmente suba com velocidade positiva).
  • Isolando V:
V=\frac{(F-mg\sin\theta)\,h}{\mu A}.
  • Substituindo números:
F-mg\sin\theta = 75 - 49{,}05 = 25{,}95\\ \mathrm{N}.
V=\frac{25{,}95\cdot 2{,}5\times10^{-5}}{0{,}27\cdot 0{,}0625}.
\text{numerador}=25{,}95\times 2{,}5\times10^{-5}=0{,}00064875.
V=\frac{0{,}00064875}{0{,}016875}\approx 0{,}03845\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando, V\approx 0{,}0385\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 6

Caso 3 — mesma força de 75\\ \mathrm{N} aplicada, mas puxando para baixo (força no sentido descendente). Montar o balanço e resolver.
  • Agora a força aplicada e a componente do peso atuam no mesmo sentido (para baixo). Para movimento para baixo com velocidade constante, a força viscosa se opõe para cima, e o equilíbrio é:
\mu\frac{V}{h}A = mg\sin\theta + F.
  • Assim
V=\frac{(mg\sin\theta + F)\,h}{\mu A}.
  • Substituindo valores:
mg\sin\theta + F = 49{,}05 + 75 = 124{,}05\\ \mathrm{N}.
V=\frac{124{,}05\cdot 2{,}5\times10^{-5}}{0{,}27\cdot 0{,}0625}.
\text{numerador}=124{,}05\times 2{,}5\times10^{-5}=0{,}00310125.
V=\frac{0{,}00310125}{0{,}016875}\approx 0{,}1838\\ \mathrm{m/s}.
(Arredondando, V\approx 0{,}184\\ \mathrm{m/s}.)

Passo 7

Resumo e observações finais (didáticas e de interpretação):
  • A fórmula geral usada foi a do escoamento de Couette simples entre duas placas: \tau=\mu V/h. Isso vale porque o filme é fino e a distribuição de velocidade foi dada como linear.
  • A força viscosa total é F_{\mathrm{visc}}=\mu (V/h)A.
  • Em regime estacionário, a força viscosa equilibra as forças motrizes ao longo do plano; por isso isolamos V nos três cenários.
  • Importante: os valores numéricos dependem fortemente do valor adotado para \mu. Usei \mu=0{,}27\\ \mathrm{Pa\cdot s} como aproximação típica para SAE 10W-30 perto de 0^\circC. Se houver uma tabela do fabricante com outro valor, substituir \mu nas fórmulas e recalcular diretamente (a velocidade é inversamente proporcional a \mu).

Resposta

V_{\text{liberado}} \approx 0{,}0727\\ \mathrm{m/s}
V_{\text{subindo,\\ }F=75\\ \mathrm{N}} \approx 0{,}0385\\ \mathrm{m/s}
V_{\text{descendo,\\ }F=75\\ \mathrm{N}} \approx 0{,}184\\ \mathrm{m/s}

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