A força de arraste que atua numa partícula esférica em movimento num fluido é dada por:
F=\frac{C_{D}(\pi) R^{2} \rho_{L} v^{2}}{2}
Onde:
C_{D}= Coeficiente de Arraste;
R= Raio da partícula;
v= Velocidade da partícula;
\rho_{L}= Massa específica do fluido.
Para certas condições de escoamento, C_{D} depende do \mathrm{n}^{\circ} de Reynolds ( R e ), expresso da seguinte forma:
C_{D}=\frac{24}{R e}
Considere Re sendo:
R e=\frac{\rho_{L} v 2 R}{\mu}
Com isso, calcule a força em newton (N) que age sobre a partícula, quando:
R=0,2 \mathrm{~mm}
\rho_{L}=58 \frac{l b}{f t^{3}}
v=8.4 \frac{\mathrm{~cm}}{\mathrm{~min}}
\mu=13.6 \times 10^{-4} \frac{l b}{f t s}
◯ a. 1,1 e-8 \mathrm{~N}
◯ b. 5,3 \mathrm{e}-7 \mathrm{~N}
◯ c. 3,6 \mathrm{e}-10 \mathrm{~N}
◯ d. 2,1 \mathrm{e}-7 \mathrm{~N}
◯ e. 3,2 \mathrm{e}-5 \mathrm{~N}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado dá a expressão da força de arraste:
F=\frac{C_{D}\,\pi R^{2}\rho_{L} v^{2}}{2}
  • Dá também a dependência do coeficiente de arraste pelo número de Reynolds:
C_{D}=\frac{24}{Re}
  • E o número de Reynolds é:
Re=\frac{\rho_{L} v\, 2R}{\mu}
  • Valores fornecidos (vou escrever exatamente como vieram):
    • R=0,2\\ \mathrm{mm}
    • \rho_{L}=58\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}}
    • v=8,4\\ \dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}}
    • \mu=13{,}6\times10^{-4}\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\cdot\mathrm{s}}
  • O que se pede: calcular a força F em newton ( \mathrm{N}) que age sobre a partícula e escolher a alternativa correta entre as opções dadas.

Passo 2

Plano de ação (breve, só para organizar): converter todas as grandezas para o sistema SI (metros, kg, segundos), calcular Re, calcular C_{D} e em seguida F. Vou explicar cada conversão e fórmula enquanto faço.
Primeiro, fatores de conversão importantes que vou usar:
  • 1\\ \mathrm{lb}=0,45359237\\ \mathrm{kg}.
  • 1\\ \mathrm{ft}=0,3048\\ \mathrm{m}, então 1\\ \mathrm{ft}^{3}=(0,3048)^{3}=0,028316846592\\ \mathrm{m}^{3}.
  • Para viscosidade dinâmica: 1\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\cdot\mathrm{s}} = \dfrac{0,45359237\\ \mathrm{kg}}{0,3048\\ \mathrm{m}\cdot\mathrm{s}} \approx 1,48816394\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.
  • Para velocidade: 1\\ \mathrm{cm}=0,01\\ \mathrm{m} e 1\\ \mathrm{min}=60\\ \mathrm{s}.
Explicação curta sobre por que converto: as fórmulas usam grandezas físicas que exigem unidades consistentes; em SI a força sai direto em newtons.

Passo 3

Converter cada dado para SI, com explicação:
  • Converter R=0,2\\ \mathrm{mm} para metros:
R = 0,2\\ \mathrm{mm} = 0,2\times10^{-3}\\ \mathrm{m} = 0,0002\\ \mathrm{m}.
  • Converter v=8,4\\ \dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}} para \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}:
v = 8,4\\ \dfrac{\mathrm{cm}}{\mathrm{min}} = 8,4\times0,01\\ \mathrm{m}\\ /\\\ 60\\ \mathrm{s} = \frac{0,084}{60}\\ \mathrm{m/s} = 0,0014\\ \mathrm{m/s}.
  • Converter \rho_{L}=58\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}} para \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}.
    • Primeiro o fator de conversão: 1\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}^{3}} = \dfrac{0,45359237}{0,028316846592}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \approx 16{,}018463\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}.
    • Então
\rho_{L} = 58\times16{,}018463\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}} \approx 929{,}071\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}^{3}}.
  • Observação: arredondei a 6 casas significativas, valor coerente com densidades de líquidos pesados.
  • Converter \mu=13{,}6\times10^{-4}\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\cdot\mathrm{s}} para \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.
    • Usando 1\\ \dfrac{\mathrm{lb}}{\mathrm{ft}\cdot\mathrm{s}}\approx1{,}48816394\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}},
\mu = 13{,}6\times10^{-4}\times1{,}48816394\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}} = (13{,}6\times1{,}48816394)\times10^{-4}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.
  • Calcule:
13{,}6\times1{,}48816394 \approx 20{,}23903
portanto
\mu \approx 20{,}23903\times10^{-4}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}} = 2{,}023903\times10^{-3}\\ \dfrac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}\cdot\mathrm{s}}.
Resumo das grandezas em SI (valores que vou usar):
R=0,0002\\ \mathrm{m},\quad v=0,0014\\ \mathrm{m/s},\quad \rho_{L}=929{,}071\\ \mathrm{kg/m^{3}},\quad \mu=2{,}023903\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.

Passo 4

Calcular o número de Reynolds Re e interpretar se a aproximação C_{D}=24/Re é válida.
Fórmula:
Re=\frac{\rho_{L} v\, 2R}{\mu}.
Substituindo valores (vou mostrar substituição numérica):
Re=\frac{929{,}071 \times 0,0014 \times 2\times0,0002}{2{,}023903\times10^{-3}}.
Calcule passo a passo:
  • 2R = 2\times0,0002 = 0,0004\\ \mathrm{m}.
  • Numerador: 929{,}071\times0,0014\times0,0004.
    • Primeiro 929{,}071\times0,0014 \approx 1{,}3006994.
    • Depois 1{,}3006994\times0,0004 \approx 0{,}00052027976.
  • Então
Re \approx \frac{0{,}00052027976}{0{,}002023903} \approx 0{,}2571.
Interpretação didática: Re\approx0{,}26, que é menor que 1. Para escoamentos com Re\ll1 (regime de Stokes), a aproximação C_{D}=24/Re é apropriada. Então é consistente usar essa expressão.

Passo 5

Calcular o coeficiente de arraste C_{D}:
C_{D}=\frac{24}{Re}=\frac{24}{0{,}2571}\approx93{,}39.
Breve comentário: número grande de C_{D} aqui ocorre porque a área de referência é a seção \pi R^{2} pequena e Re é muito pequeno — na fórmula prático esse C_{D} compensa para dar o arraste correto no regime viscoso.

Passo 6

Calcular a força F usando
F=\frac{C_{D}\,\pi R^{2}\rho_{L} v^{2}}{2}.
Substituindo os valores já em SI:
F=\frac{93{,}39\;\times\;\pi\;\times\;(0{,}0002)^{2}\;\times\;929{,}071\;\times\;(0{,}0014)^{2}}{2}.
Calcule passo a passo:
  • R^{2}=(0{,}0002)^{2}=4{,}0\times10^{-8}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • v^{2}=(0{,}0014)^{2}=1{,}96\times10^{-6}\\ \mathrm{m^{2}/s^{2}}.
  • Produto R^{2}\,v^{2}=4{,}0\times10^{-8}\times1{,}96\times10^{-6}=7{,}84\times10^{-14}.
  • Multiplicar por \rho_{L}: 7{,}84\times10^{-14}\times929{,}071 \approx 7{,}28392\times10^{-11}.
  • Multiplicar por \pi: 7{,}28392\times10^{-11}\times\pi \approx 2{,}2879\times10^{-10}.
  • Multiplicar por C_{D}: 2{,}2879\times10^{-10}\times93{,}39 \approx 2{,}1364\times10^{-8}.
  • Dividir por 2: resultado final
F \approx 1{,}0682\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.
Arredondando razoavelmente (duas casas significativas compatíveis com dados originais), obtemos
F\approx1{,}1\times10^{-8}\\ \mathrm{N}.

Passo 7

Verificação e interpretação final:
  • O valor de Re sendo \approx0{,}26 confirma que estamos no regime de escoamento laminar/viscoso onde a lei C_{D}=24/Re (regra de Stokes para esferas) é aceitável.
  • O cálculo dá F da ordem de 10^{-8}\\ \mathrm{N}, opção muito pequena — faz sentido porque a partícula é minúscula ( R=0{,}2\\ \mathrm{mm}) e a velocidade é muito baixa ( 0{,}0014\\ \mathrm{m/s}).

Resposta

a. 1{,}1\times10^{-8}\\ \mathrm{N}

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