Uma mistura gasosa escoa por uma tubulação e a mesma possui a seguinte composição:
CO 5 \%
\mathrm{CO}_{2} 7 \%
\mathrm{O}_{2} 8 \%
\mathrm{~N}_{2} 80 \%
Um tubo de Pitot conectado a um manômetro preenchido com água é utilizado para quantificar a velocidade dos componentes gasosos que são:
  • 5,5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para o CO,
  • 3 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para o \mathrm{CO}_{2},
  • 5 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para o \mathrm{O}_{2} e
  • 6 \mathrm{~m} / \mathrm{s} para o \mathrm{N}_{2}.
Qual é a medida do manômetro?
O gás encontra-se a 295 K e \mathrm{P}=1,013.10^{5} \mathrm{~Pa}.

Passo 1

Vou listar claramente os dados fornecidos e o que o enunciado pede.
  • Composição da mistura (peguei estes números do enunciado):
    • CO: 5\%
    • \mathrm{CO}_2: 7\%
    • \mathrm{O}_2: 8\%
    • \mathrm{N}_2: 80\%
  • Velocidades dos componentes (peguei estes valores do enunciado):
    • CO: v_{\mathrm{CO}}=5,5\\ \mathrm{m/s}
    • \mathrm{CO}_2: v_{\mathrm{CO_2}}=3\\ \mathrm{m/s}
    • \mathrm{O}_2: v_{\mathrm{O_2}}=5\\ \mathrm{m/s}
    • \mathrm{N}_2: v_{\mathrm{N_2}}=6\\ \mathrm{m/s}
  • Condições do gás (peguei do enunciado):
    • T=295\\ \mathrm{K}
    • P=1{,}013\times10^{5}\\ \mathrm{Pa}
  • O manômetro está cheio de água. Usarei \rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kg/m^3} e g=9,81\\ \mathrm{m/s^2}.
O que o problema pede:
  • Determinar a medida do manômetro, ou seja, a altura h do líquido no manômetro associada à diferença de pressão medida pelo tubo de Pitot para essa mistura em movimento.

Passo 2

Conceito físico e fórmula que vamos usar (explicadinha, passo a passo).
Um tubo de Pitot mede a diferença entre pressão total (estagnação) e pressão estática; essa diferença é a “pressão dinâmica” associada ao movimento do fluido. Para um único fluido uniforme vale a relação clássica
\Delta p=\tfrac{1}{2}\rho v^{2},
onde:
  • \Delta p é a diferença de pressão (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido (kg/m³),
  • v é a velocidade do fluido (m/s).
No caso de uma mistura cujos componentes têm velocidades diferentes, a contribuição de momento de cada espécie soma-se: a pressão dinâmica total pode ser obtida como soma das metades das densidades de cada espécie vezes o quadrado de sua velocidade. Ou seja,
\Delta p=\tfrac{1}{2}\sum_{i}\rho_{i}v_{i}^{2},
onde o índice i percorre as espécies ( \mathrm{CO},\mathrm{CO}_2,\mathrm{O}_2,\mathrm{N}_2). Essa fórmula vem da ideia física de somar as contribuições de momento por unidade de volume das partículas de cada espécie que atingem a estagnação.
Agora precisamos de \rho_i para cada espécie. Usando a lei dos gases ideais para a parcela i:
p_i = y_i P,
onde y_i é a fração molar (por exemplo y_{\mathrm{CO}}=0{,}05) e P a pressão total. A densidade parcial \rho_i é dada por
\rho_i=\frac{p_i M_i}{R T}=y_i\frac{P M_i}{R T},
onde:
  • M_i é a massa molar da espécie i (kg/mol),
  • R é a constante universal dos gases (R=8{,}314\\ \mathrm{J/(mol\\ K)}),
  • T é a temperatura absoluta (K).
Por fim, a leitura do manômetro (altura h de água) está ligada à diferença de pressão por
\Delta p=\rho_{\mathrm{H_2O}}\,g\,h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{H_2O}}\,g}.

Passo 3

Calcular a densidade de cada espécie. Primeiro calculo um fator comum
C=\frac{P}{R\,T}.
Substituindo os valores:
C=\frac{1{,}013\times10^{5}}{8{,}314\cdot295}.
Faço a conta (mostrando passos):
8{,}314\cdot295=2452{,}63,
C=\frac{101300}{2452{,}63}\approx41{,}31\\ \mathrm{mol/m^{3}}.
Agora uso massas molares (em kg/mol; valores obtidos dos pesos atômicos aproximados):
  • M_{\mathrm{CO}}=28{,}01\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
  • M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
  • M_{\mathrm{O_2}}=32{,}00\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol},
  • M_{\mathrm{N_2}}=28{,}02\times10^{-3}\\ \mathrm{kg/mol}.
Agora \rho_i = y_i C M_i. Calculando cada uma (mostrando a conta e arredondando sensatamente):
  • Para CO ( y_{\mathrm{CO}}=0{,}05):
\rho_{\mathrm{CO}}=0{,}05\cdot 41{,}31\cdot 0{,}02801 \approx0{,}05784\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Para \mathrm{CO}_2 ( y_{\mathrm{CO_2}}=0{,}07):
\rho_{\mathrm{CO_2}}=0{,}07\cdot 41{,}31\cdot 0{,}04401 \approx0{,}12723\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Para \mathrm{O}_2 ( y_{\mathrm{O_2}}=0{,}08):
\rho_{\mathrm{O_2}}=0{,}08\cdot 41{,}31\cdot 0{,}03200 \approx0{,}10573\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Para \mathrm{N}_2 ( y_{\mathrm{N_2}}=0{,}80):
\rho_{\mathrm{N_2}}=0{,}80\cdot 41{,}31\cdot 0{,}02802 \approx0{,}92578\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Como checagem rápida, a densidade total da mistura é a soma:
\rho_{\text{total}}=\sum_{i}\rho_i\approx1{,}2166\\ \mathrm{kg/m^{3}},
o que é consistente com \rho=\dfrac{P M_{\text{médio}}}{R T}é usando M_{\text{médio}}\approx0{,}02946\\ \mathrm{kg/mol}é. (Só para a gente confiar nas contas.)

Passo 4

Calcular a pressão dinâmica total usando \Delta p=\tfrac{1}{2}\sum_{i}\rho_{i}v_{i}^{2}. Vou calcular a contribuição de cada espécie:
  • CO:
\Delta p_{\mathrm{CO}}=\tfrac{1}{2}\rho_{\mathrm{CO}}v_{\mathrm{CO}}^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot0{,}05784\cdot(5{,}5)^{2} \approx0{,}8748\\ \mathrm{Pa}.
  • \mathrm{CO}_2:
\Delta p_{\mathrm{CO_2}}=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}12723\cdot(3)^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot0{,}12723\cdot9 \approx0{,}5725\\ \mathrm{Pa}.
  • \mathrm{O}_2:
\Delta p_{\mathrm{O_2}}=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}10573\cdot(5)^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot0{,}10573\cdot25 \approx1{,}3216\\ \mathrm{Pa}.
  • \mathrm{N}_2:
\Delta p_{\mathrm{N_2}}=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}92578\cdot(6)^{2} =\tfrac{1}{2}\cdot0{,}92578\cdot36 \approx16{,}6641\\ \mathrm{Pa}.
Somando todas as contribuições:
\Delta p=\sum_{i}\Delta p_{i} \approx0{,}8748+0{,}5725+1{,}3216+16{,}6641 \approx19{,}433\\ \mathrm{Pa}.
Observação amigável: reparou que a contribuição dominante vem do nitrogênio? Isso ocorre porque ele é a maior fração molar e tem velocidade relativamente alta; a pressão dinâmica escala com \rho v^{2}, então tanto massa quanto velocidade importam.

Passo 5

Converter a diferença de pressão em altura de coluna de água do manômetro com
h=\frac{\Delta p}{\rho_{\mathrm{H_2O}}\,g}.
Substituindo:
h=\frac{19{,}433\\ \mathrm{Pa}}{1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}\cdot9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}} \approx0{,}00198\\ \mathrm{m}.
Convertendo para milímetros:
h\approx1{,}98\\ \mathrm{mm}.
Resumo prático: o manômetro mostraria uma coluna de água com cerca de 2\\ \mathrm{mm} de altura — uma variação bem pequena, por isso é normal um tubo de Pitot para gases mostrar pequenas leituras em manômetros de água.

Resposta

h=0{,}00198\\ \mathrm{m}=1{,}98\\ \mathrm{mm}

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