Um bloco com densidade de 1250,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} flutua em um fluido desconhecido com dois terços do seu volume abaixo da superfície. Qual é a densidade do fluido?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Dado: a densidade do bloco é \rho_{\text{bloco}} = 1250{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}.
  • Dado: dois terços do volume do bloco estão abaixo da superfície do fluido, ou seja, a fração submersa é \dfrac{V_{\text{sub}}}{V} = \dfrac{2}{3}.
  • Pedido: determinar a densidade do fluido \rho_{\text{fluido}}.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado de forma direta e simples):
  • Princípio de Arquimedes: um corpo imerso num fluido sofre uma força de empuxo igual ao peso do fluido deslocado pelo corpo.
  • Em equilíbrio de flutuação (o bloco flutua sem afundar nem subir), o empuxo é igual ao peso do bloco.
Vou definir as variáveis claramente:
  • \rho_{\text{bloco}} = densidade do bloco (em \mathrm{kg/m^3}).
  • \rho_{\text{fluido}} = densidade do fluido (em \mathrm{kg/m^3}), que queremos achar.
  • V = volume total do bloco (em \mathrm{m^3}).
  • V_{\text{sub}} = volume do bloco submerso (em \mathrm{m^3}).
  • g = aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}); não precisamos do seu valor numérico porque ele cancela na equação.

Passo 3

Escrever expressões para o peso do bloco e para o empuxo:
  • Peso do bloco (força peso) é massa vezes g. A massa do bloco é \rho_{\text{bloco}} V. Logo o peso é
\text{Peso} = \rho_{\text{bloco}} V g.
  • Empuxo (peso do fluido deslocado) é a massa do fluido deslocado vezes g. A massa do fluido deslocado é \rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}}. Logo o empuxo é
\text{Empuxo} = \rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}} g.

Passo 4

Condição de equilíbrio (flutuação): empuxo = peso. Então
\rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}} g = \rho_{\text{bloco}} V g.
Agora simplificamos: ambos os lados têm g, que podemos cancelar:
\rho_{\text{fluido}} V_{\text{sub}} = \rho_{\text{bloco}} V.
Queremos \rho_{\text{fluido}}, então isolamos:
\rho_{\text{fluido}} = \rho_{\text{bloco}} \cdot \frac{V}{V_{\text{sub}}} = \rho_{\text{bloco}} \cdot \frac{1}{\dfrac{V_{\text{sub}}}{V}}.
Observação didática rápida: isso diz que a densidade do fluido é a densidade do bloco multiplicada pelo recíproco da fração submersa. Faz sentido físico: se a fração submersa for pequena, o fluido deve ser bem denso (maior \rho_{\text{fluido}}) para suportar o bloco.

Passo 5

Substituir a fração submersa dada \dfrac{V_{\text{sub}}}{V}=\dfrac{2}{3} e o valor de \rho_{\text{bloco}}:
\rho_{\text{fluido}} = 1250{,}0 \cdot \frac{1}{\dfrac{2}{3}}.
O recíproco de \dfrac{2}{3} é \dfrac{3}{2}, portanto
\rho_{\text{fluido}} = 1250{,}0 \cdot \frac{3}{2}.
Fazendo a conta passo a passo sem calculadora: multiplicar por \dfrac{3}{2} é o mesmo que multiplicar por 3 e dividir por 2.
  • 1250{,}0 \times 3 = 3750{,}0.
  • 3750{,}0 \div 2 = 1875{,}0.
Portanto
\rho_{\text{fluido}} = 1875{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo:
  • O resultado significa que o fluido é mais denso que o bloco ( 1875{,}0 > 1250{,}0), por isso o bloco flutua com parte do volume fora d’água.
  • Dica para prova: sempre escreva as equações do peso e do empuxo e cancele g. Se a fração submersa for dada, use diretamente \rho_{\text{fluido}}=\rho_{\text{bloco}}/fração_submersa — isso economiza tempo.

Resposta

1875{,}0\\ \mathrm{kg/m^3}

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