Dois cilindros longos, ocos e concêntricos, de raios respectivamente a e b(a \neq b), possuem cargas opostas, mas com o mesmo módulo \lambda para suas densidades lineares de cargas. Usando a Lei de Gauss mostre que:
\begin{aligned} & \text { (a) } E=0 \text { para } r>b \text { e } r<a \\ & \text { (b) } E=\frac{1}{2 \pi \varepsilon_{0}} \frac{\lambda}{r} \text { para } a<r<b \end{aligned}

Passo 1

O enunciado dá duas hastes cilíndricas longas, ocas e concêntricas, de raios respectivamente a e b (com a\neq b). As hastes têm cargas de sinais opostos e o mesmo módulo da densidade linear de carga, denotada por \lambda (isto é, uma tem densidade +\lambda e a outra -\lambda). O problema pede explicitamente para, usando a Lei de Gauss, mostrar:
\begin{aligned} &\text{(a) } E=0 \text{ para } r>b \text{ e } r<a,\\\ &\text{(b) } E=\frac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\frac{\lambda}{r}\text{ para } a<r<b. \end{aligned}
Informações relevantes dadas:
\text{dois cilindros concêntricos, raios }a\text{ e }b,\; a\neq b;\quad\text{densidades lineares }+\lambda\text{ e }-\lambda.ê

Passo 2

Apresento a Lei de Gauss e explico cada termo de forma bem didática. A forma integral da Lei de Gauss é
\oint_{\mathcal{S}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Aqui:
  • \vec{E} é o campo elétrico;
  • d\vec{A} é o elemento de área da superfície fechada \mathcal{S}, apontando para fora;
  • o símbolo \oint indica integração sobre toda a superfície fechada;
  • Q_{\text{int}} é a carga total contida no interior da superfície \mathcal{S};
  • \varepsilon_{0} é a permissividade elétrica do vácuo.
    A ideia prática: escolhemos uma superfície \mathcal{S} que explore a simetria do problema para transformar a integral em uma expressão simples que relaciona E com Q_{\text{int}}.

Passo 3

Escolha da superfície de Gauss e justificativa por simetria. Pelo problema temos simetria cilíndrica ao redor do eixo comum. Então escolhemos como superfície de Gauss um cilindro imaginário coaxial de raio r e comprimento L (onde L é um comprimento arbitrário, mas finito, que depois cancela). Por simetria:
  • o campo \vec{E} será radial (apontando para fora ou para dentro) e depende apenas de r, isto é \vec{E}=E(r)\,\hat{r};
  • sobre a superfície lateral do cilindro de Gauss, E é constante em módulo e \vec{E} é paralelo a d\vec{A};
  • nas tampas (as faces planas) o vetor área é paralelo ao eixo e, como \vec{E} é radial, \vec{E}\cdot d\vec{A}=0 nas tampas.
    Portanto a integral de fluxo reduz-se ao fluxo pela superfície lateral.

Passo 4

Cálculo do fluxo pela superfície lateral. A área lateral do cilindro de Gauss é 2\pi r L. Como E é constante sobre essa área e \vec{E} está alinhado com d\vec{A}, temos
\oint_{\mathcal{S}}\vec{E}\cdot d\vec{A}=E(r)\cdot(2\pi r L).
Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.
Logo
E(r)=\frac{Q_{\text{int}}}{2\pi\varepsilon_{0}\,r\,L}.
Agora precisamos obter Q_{\text{int}} dependendo da posição do raio r em relação a a e b.

Passo 5

Interpretação da densidade linear \lambda e cálculo de Q_{\text{int}}. A densidade linear \lambda significa que a carga por unidade de comprimento de uma das hastes é \lambda. Assim, se uma haste tem densidade linear +\lambda, a carga contida em um comprimento L dessa haste é \lambda L. Como as hastes são finamente longas (ou estamos considerando um trecho de comprimento L), as cargas relevantes dentro do cilindro de Gauss serão múltiplos de \lambda L dependendo se a haste está dentro do raio r ou não.

Passo 6

Caso 1: r<a (o cilindro de Gauss está inteiramente dentro do cilindro interno). Dentro do raio r não há nenhuma das hastes (ambas estão em superfícies de raio a e b maiores que r). Portanto
Q_{\text{int}}=0.
Substituindo em E(r)=\dfrac{Q_{\text{int}}}{2\pi\varepsilon_{0}\,r\,L} obtemos
E(r)=0\quad\text{para }r<a.

Passo 7

Caso 2: a<r<b (o cilindro de Gauss envolve a haste de raio a mas não envolve a haste de raio b). Nesse caso a carga total dentro do cilindro de Gauss é apenas a carga da haste interna. Tomando a haste interna com densidade +\lambda (se a interna for a positiva; se for negativa o sinal de E muda de sentido), temos
Q_{\text{int}}=\lambda L.
Substituindo em
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\varepsilon_{0}}
podemos cancelar L nos dois lados e obter
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\quad\text{para }a<r<b.
Esse é o módulo do campo; a direção é radial — saindo do eixo se \lambda>0, entrando se \lambda<0.

Passo 8

Caso 3: r>b (o cilindro de Gauss envolve ambas as hastes). Agora estão dentro tanto a haste de raio a quanto a de raio b. Como as densidades são de mesmo módulo e sinais opostos, as cargas contidas em comprimento L somam zero:
Q_{\text{int}}=\lambda L+(-\lambda)L=0.
Portanto, pela expressão de E(r),
E(r)=0\quad\text{para }r>b.

Passo 9

Resumo e interpretação física. Vimos que fora das duas hastes (para r>b) o campo elétrico se anula porque as cargas opostas somam zero dentro de qualquer superfície que envolva as duas. Dentro do espaço entre as hastes (para a<r<b) o campo tem a forma que se obtém de uma linha de carga com densidade \lambda, ou seja decai como 1/r. Dentro do tubo interno (para r<a) não há carga no interior do raio e, portanto, o campo é zero.

Resposta

(a) E=0 para r>b e r<a\n(b) E=\dfrac{1}{2\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{\lambda}{r} para a<r<b

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