Dois cilindros longos, ocos e concêntricos, de raios respectivamente a e
, possuem cargas opostas, mas com o mesmo módulo
para suas densidades lineares de cargas. Usando a Lei de Gauss mostre que:
Passo 1
O enunciado dá duas hastes cilíndricas longas, ocas e concêntricas, de raios respectivamente
e
(com
). As hastes têm cargas de sinais opostos e o mesmo módulo da densidade linear de carga, denotada por
(isto é, uma tem densidade
e a outra
). O problema pede explicitamente para, usando a Lei de Gauss, mostrar:
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Apresento a Lei de Gauss e explico cada termo de forma bem didática. A forma integral da Lei de Gauss é
Aqui:
-
é o campo elétrico; -
é o elemento de área da superfície fechada , apontando para fora; - o símbolo
indica integração sobre toda a superfície fechada; -
é a carga total contida no interior da superfície ; -
é a permissividade elétrica do vácuo.
A ideia prática: escolhemos uma superfícieque explore a simetria do problema para transformar a integral em uma expressão simples que relaciona com .
Passo 3
Escolha da superfície de Gauss e justificativa por simetria. Pelo problema temos simetria cilíndrica ao redor do eixo comum. Então escolhemos como superfície de Gauss um cilindro imaginário coaxial de raio
e comprimento
(onde
é um comprimento arbitrário, mas finito, que depois cancela). Por simetria:
- o campo
será radial (apontando para fora ou para dentro) e depende apenas de , isto é ; - sobre a superfície lateral do cilindro de Gauss,
é constante em módulo e é paralelo a ; - nas tampas (as faces planas) o vetor área é paralelo ao eixo e, como
é radial, nas tampas.
Portanto a integral de fluxo reduz-se ao fluxo pela superfície lateral.
Passo 4
Cálculo do fluxo pela superfície lateral. A área lateral do cilindro de Gauss é
. Como
é constante sobre essa área e
está alinhado com
, temos
Substituindo na Lei de Gauss:
Logo
Agora precisamos obter
dependendo da posição do raio
em relação a
e
.
Passo 5
Interpretação da densidade linear
e cálculo de
. A densidade linear
significa que a carga por unidade de comprimento de uma das hastes é
. Assim, se uma haste tem densidade linear
, a carga contida em um comprimento
dessa haste é
. Como as hastes são finamente longas (ou estamos considerando um trecho de comprimento
), as cargas relevantes dentro do cilindro de Gauss serão múltiplos de
dependendo se a haste está dentro do raio
ou não.
Passo 6
Caso 1:
(o cilindro de Gauss está inteiramente dentro do cilindro interno). Dentro do raio
não há nenhuma das hastes (ambas estão em superfícies de raio
e
maiores que
). Portanto
Substituindo em
obtemos
Passo 7
Caso 2:
(o cilindro de Gauss envolve a haste de raio
mas não envolve a haste de raio
). Nesse caso a carga total dentro do cilindro de Gauss é apenas a carga da haste interna. Tomando a haste interna com densidade
(se a interna for a positiva; se for negativa o sinal de
muda de sentido), temos
Substituindo em
podemos cancelar
nos dois lados e obter
Esse é o módulo do campo; a direção é radial — saindo do eixo se
, entrando se
.
Passo 8
Caso 3:
(o cilindro de Gauss envolve ambas as hastes). Agora estão dentro tanto a haste de raio
quanto a de raio
. Como as densidades são de mesmo módulo e sinais opostos, as cargas contidas em comprimento
somam zero:
Portanto, pela expressão de
,
Passo 9
Resumo e interpretação física. Vimos que fora das duas hastes (para
) o campo elétrico se anula porque as cargas opostas somam zero dentro de qualquer superfície que envolva as duas. Dentro do espaço entre as hastes (para
) o campo tem a forma que se obtém de uma linha de carga com densidade
, ou seja decai como
. Dentro do tubo interno (para
) não há carga no interior do raio e, portanto, o campo é zero.
Resposta
(a)
para
e
\n(b)
para