Um cilindro condutor maciço e longo, de comprimento
, portando uma carga total
, é circundado por uma casca condutora cilíndrica concêntrica, de carga total
. Usando a Lei de Gauss, calcule: (a) a distribuição de cargas na casca condutora. (b) a intensidade do campo fora da casca condutora. (c) a intensidade do campo na região entre os dois condutores.
Passo 1
O enunciado dá um cilindro condutor maciço e longo, de comprimento
, com carga total
. Esse cilindro é coaxialmente envolvido por uma casca condutora cilíndrica, também longa, que tem carga total
. O enunciado pede três coisas:
- (a) Qual é a distribuição de cargas na casca condutora (isto é, quanto fica na superfície interna da casca e quanto fica na superfície externa)?
- (b) Qual é a intensidade do campo elétrico fora da casca condutora (para
maior que o raio externo da casca)? - (c) Qual é a intensidade do campo elétrico na região entre os dois condutores (ou seja, para
entre o raio do cilindro interno e o raio interno da casca)?
Informações e convenções que vou usar (o enunciado não deu raios, então vou nomeá‑los):
- Raio do cilindro condutor maciço (o fio interno):
. - Raio interno da casca condutora:
(com ). - Raio externo da casca condutora:
(com ). - Comprimento considerado para aplicar a Lei de Gauss:
(o enunciado já dá). - Cargas dadas: carga total do cilindro interno
; carga total da casca condutora .
Não resolvo nada ainda aqui — apenas organizei o que foi dado e o que se pede.
Passo 2
Conceitos físicos essenciais (explicados com calma):
- Em equilíbrio eletrostático um condutor tem campo elétrico interno nulo:
dentro do volume metálico do condutor. Isso ocorre porque cargas livres se redistribuem até anular qualquer campo interno. - Toda carga elétrica em excesso num condutor em equilíbrio repousa nas suas superfícies (externas ou internas, se houver cavidade). No nosso caso a casca tem duas superfícies relevantes: a superfície interna (no raio
) e a superfície externa (no raio ). - A Lei de Gauss é a ferramenta prática aqui. Ela diz:
onde
é a carga total dentro da superfície fechada escolhida e
é a permissividade do vácuo.
- Pela simetria cilíndrica (sistemas muito longos e coaxiais), o campo elétrico é radial e depende só da distância radial
ao eixo: . Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio e comprimento , a área lateral é , então a Lei de Gauss vira, para um onde é radial e constante na superfície:
Dessa equação podemos isolar
:
- Sinal: se
for positivo, o campo aponta radialmente para fora; se for negativo, aponta radialmente para dentro (ou seja, tem direção ).
Vou usar esses princípios para deduzir a distribuição de cargas e os campos.
Passo 3
Distribuição de cargas na casca condutora (questão (a)), raciocínio passo a passo:
- Considere uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
tal que , ou seja, uma superfície situada dentro do material metálico da casca (entre a face interna e externa do metal). Dentro do metal o campo deve ser zero, então pela Lei de Gauss o fluxo é zero e logo a carga total contida dentro dessa superfície é zero:
- O que está contido dentro dessa superfície gaussiana? O cilindro maciço interno (carga
) mais qualquer carga que esteja na superfície interna da casca (vamos chamar essa carga de ). Nessa superfície gaussiana não está incluída a carga na superfície externa da casca. Logo:
Isto implica
- A casca tem carga total
. A soma das cargas na superfície interna e externa da casca deve ser . Assim se , a carga na superfície externa satisfaz
portanto
Conclusão da parte (a): a casca tem carga
na superfície interna (raio
) e carga
na superfície externa (raio
).
Passo 4
Campo elétrico na região entre os dois condutores (questão (c)), i.e. para
:
-
Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
tal que e comprimento . Nesta superfície está contida apenas a carga do cilindro interno, que é (a carga da superfície interna da casca está fora dessa superfície gaussiana, porque fica em ). Portanto . -
Aplicando a Lei de Gauss com simetria cilíndrica:
- Isolando
:
- Interpretação de direção: como
(dado), o campo aponta radialmente para fora, isto é,
Esse é o campo entre os condutores.
Passo 5
Campo elétrico fora da casca condutora (questão (b)), i.e. para
:
- Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio
e comprimento , a carga total encerrada é a soma de todas as cargas: cilindro interno mais a carga total da casca . Então
- Aplicando a Lei de Gauss:
- Isolando
:
- Interpretação: o sinal negativo indica que o campo é dirigido radialmente para dentro (ou seja, em
), porque o carregamento total encerrado é negativo. Em forma vetorial:
Passo 6
Observações finais úteis para a prova (mastigadas e práticas):
- Para
(dentro do volume metálico do cilindro maciço interno) o campo é porque o interior de um condutor em equilíbrio não tem campo. - Para
(no próprio metal da casca) também , que foi o argumento usado para encontrar a carga induzida na superfície interna. - Em todas as expressões de campo use a fórmula geral para cilindros longos:
substituindo
apropriado (isso é prático na prova: pense quais cargas estão dentro da superfície gaussiana).
Resposta
(a) carga na superfície interna da casca:
. carga na superfície externa da casca:
.
(b)
(c)