Um cilindro condutor maciço e longo, de comprimento \ell, portando uma carga total +q, é circundado por uma casca condutora cilíndrica concêntrica, de carga total -2 q. Usando a Lei de Gauss, calcule: (a) a distribuição de cargas na casca condutora. (b) a intensidade do campo fora da casca condutora. (c) a intensidade do campo na região entre os dois condutores.

Passo 1

O enunciado dá um cilindro condutor maciço e longo, de comprimento \ell, com carga total +q. Esse cilindro é coaxialmente envolvido por uma casca condutora cilíndrica, também longa, que tem carga total -2q. O enunciado pede três coisas:
  1. (a) Qual é a distribuição de cargas na casca condutora (isto é, quanto fica na superfície interna da casca e quanto fica na superfície externa)?
  2. (b) Qual é a intensidade do campo elétrico fora da casca condutora (para r maior que o raio externo da casca)?
  3. (c) Qual é a intensidade do campo elétrico na região entre os dois condutores (ou seja, para r entre o raio do cilindro interno e o raio interno da casca)?
Informações e convenções que vou usar (o enunciado não deu raios, então vou nomeá‑los):
  • Raio do cilindro condutor maciço (o fio interno): \,a\,.
  • Raio interno da casca condutora: \,b\, (com b>a).
  • Raio externo da casca condutora: \,c\, (com c>b).
  • Comprimento considerado para aplicar a Lei de Gauss: \,\ell\, (o enunciado já dá).
  • Cargas dadas: carga total do cilindro interno +q; carga total da casca condutora -2q.
Não resolvo nada ainda aqui — apenas organizei o que foi dado e o que se pede.

Passo 2

Conceitos físicos essenciais (explicados com calma):
  • Em equilíbrio eletrostático um condutor tem campo elétrico interno nulo: \mathbf{E}=0 dentro do volume metálico do condutor. Isso ocorre porque cargas livres se redistribuem até anular qualquer campo interno.
  • Toda carga elétrica em excesso num condutor em equilíbrio repousa nas suas superfícies (externas ou internas, se houver cavidade). No nosso caso a casca tem duas superfícies relevantes: a superfície interna (no raio b) e a superfície externa (no raio c).
  • A Lei de Gauss é a ferramenta prática aqui. Ela diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície fechada escolhida e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Pela simetria cilíndrica (sistemas muito longos e coaxiais), o campo elétrico é radial e depende só da distância radial r ao eixo: \mathbf{E}(r)=E(r)\,\hat r. Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r e comprimento \ell, a área lateral é 2\pi r\ell, então a Lei de Gauss vira, para um r onde \mathbf{E} é radial e constante na superfície:
E(r)\,2\pi r\ell=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Dessa equação podemos isolar E(r):
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}.
  • Sinal: se Q_{\text{enc}} for positivo, o campo aponta radialmente para fora; se Q_{\text{enc}} for negativo, aponta radialmente para dentro (ou seja, tem direção -\hat r).
Vou usar esses princípios para deduzir a distribuição de cargas e os campos.

Passo 3

Distribuição de cargas na casca condutora (questão (a)), raciocínio passo a passo:
  1. Considere uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r tal que b<r<c, ou seja, uma superfície situada dentro do material metálico da casca (entre a face interna e externa do metal). Dentro do metal o campo deve ser zero, então pela Lei de Gauss o fluxo é zero e logo a carga total contida dentro dessa superfície é zero:
Q_{\text{enc}}=0.
  1. O que está contido dentro dessa superfície gaussiana? O cilindro maciço interno (carga +q) mais qualquer carga que esteja na superfície interna da casca (vamos chamar essa carga de Q_{\text{int}}). Nessa superfície gaussiana não está incluída a carga na superfície externa da casca. Logo:
q + Q_{\text{int}} = 0.
Isto implica
Q_{\text{int}}=-q.
  1. A casca tem carga total -2q. A soma das cargas na superfície interna e externa da casca deve ser -2q. Assim se Q_{\text{int}}=-q, a carga na superfície externa Q_{\text{ext}} satisfaz
Q_{\text{int}} + Q_{\text{ext}} = -2q \quad\Rightarrow\quad -q + Q_{\text{ext}} = -2q,
portanto
Q_{\text{ext}}=-q.
Conclusão da parte (a): a casca tem carga -q na superfície interna (raio b) e carga -q na superfície externa (raio c).

Passo 4

Campo elétrico na região entre os dois condutores (questão (c)), i.e. para a<r<b:
  1. Escolho uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r tal que a<r<b e comprimento \ell. Nesta superfície está contida apenas a carga do cilindro interno, que é +q (a carga -q da superfície interna da casca está fora dessa superfície gaussiana, porque fica em r=b>r). Portanto Q_{\text{enc}}=+q.
  2. Aplicando a Lei de Gauss com simetria cilíndrica:
E(r)\,2\pi r\ell=\frac{q}{\varepsilon_0}.
  1. Isolando E(r):
E(r)=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}.
  1. Interpretação de direção: como q>0 (dado), o campo aponta radialmente para fora, isto é,
\mathbf{E}(r)=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}\,\hat r,\qquad a<r<b.
Esse é o campo entre os condutores.

Passo 5

Campo elétrico fora da casca condutora (questão (b)), i.e. para r>c:
  1. Para uma superfície gaussiana cilíndrica de raio r>c e comprimento \ell, a carga total encerrada é a soma de todas as cargas: cilindro interno +q mais a carga total da casca -2q. Então
Q_{\text{enc}}=q+(-2q)=-q.
  1. Aplicando a Lei de Gauss:
E(r)\,2\pi r\ell=\frac{-q}{\varepsilon_0}.
  1. Isolando E(r):
E(r)=-\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}.
  1. Interpretação: o sinal negativo indica que o campo é dirigido radialmente para dentro (ou seja, em -\hat r), porque o carregamento total encerrado é negativo. Em forma vetorial:
\mathbf{E}(r)=-\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}\,\hat r,\qquad r>c.

Passo 6

Observações finais úteis para a prova (mastigadas e práticas):
  • Para r<a (dentro do volume metálico do cilindro maciço interno) o campo é \mathbf{E}=0 porque o interior de um condutor em equilíbrio não tem campo.
  • Para b<r<c (no próprio metal da casca) também \mathbf{E}=0, que foi o argumento usado para encontrar a carga induzida na superfície interna.
  • Em todas as expressões de campo use a fórmula geral para cilindros longos:
E(r)=\frac{Q_{\text{enc}}}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r},
substituindo Q_{\text{enc}} apropriado (isso é prático na prova: pense quais cargas estão dentro da superfície gaussiana).

Resposta

(a) carga na superfície interna da casca: -q. carga na superfície externa da casca: -q.
(b) \displaystyle \mathbf{E}(r)=-\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}\,\hat r,\qquad r>c.
(c) \displaystyle \mathbf{E}(r)=\frac{q}{2\pi\varepsilon_0\ell\,r}\,\hat r,\qquad a<r<b.

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