1. Um bloco é deslocado ao longo de um eixo x , de x_{0}=0 \mathrm{~m} até x=1,0 \mathrm{~m}, por uma força cujo módulo é dado por F(x)=e^{-4 x}, no SI. Qual é o trabalho realizado pela força sobre o bloco?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Dados fornecidos:
  • Deslocamento do bloco ao longo do eixo x de x_0=0\\ \mathrm{m} até x=1,0\\ \mathrm{m}.
  • A força aplicada, em função da posição, tem módulo F(x)=e^{-4x} (unidades SI, ou seja, newtons).
    O enunciado pede: calcular o trabalho realizado pela força sobre o bloco no deslocamento de x=0 até x=1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): quando uma força F(x) varia com a posição ao longo de um eixo e o movimento é ao longo desse mesmo eixo, o trabalho total realizado entre dois pontos é a soma (integral) dos pequenos trabalhos elementares. Em um pequeno trecho dx a força pode ser considerada aproximadamente constante, e o trabalho elementar é
dW = F(x)\,dx.
Somando todos esses pedaços de x=0 até x=1{,}0 obtemos o trabalho total como uma integral definida:
W=\int_{0}^{1} F(x)\,dx.
Isto vem da definição física de trabalho para força variável e é um procedimento padrão em provas: transformar em integral e calcular.

Passo 3

Substituindo F(x)=e^{-4x} na expressão do trabalho, montamos a integral que precisamos calcular:
W=\int_{0}^{1} e^{-4x}\,dx.
Aqui W terá unidades de newton·metro, isto é, joules ( \mathrm{J}).

Passo 4

Cálculo da primitiva (aula rápida sobre integrais exponenciais): a primitiva de e^{ax} é \dfrac{1}{a}e^{ax}, porque \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{1}{a}e^{ax}\right)=e^{ax}. No nosso caso a=-4, então uma primitiva de e^{-4x} é
\int e^{-4x}\,dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x} + C.
Sempre bom checar derivando: \dfrac{d}{dx}\!\big(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\big)= -\tfrac{1}{4}(-4)e^{-4x}=e^{-4x}, certo.

Passo 5

Agora aplicamos a primitiva nos limites de integração de 0 a 1:
W=\left[-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right]_{0}^{1} = -\tfrac{1}{4}\big(e^{-4}-e^{0}\big).
Simplificando e^{0}=1, obtemos a forma exata
W=\tfrac{1}{4}\big(1-e^{-4}\big).

Passo 6

Avaliação numérica (como fazê-la na prova sem calculadora, e aqui com aproximação): e^{-4}\approx 0{,}018315. Então
1-e^{-4}\approx 0{,}981685,
e dividindo por 4,
W\approx 0{,}245421\\ \mathrm{J}.
Arredondando para três algarismos significativos dá W\approx 0{,}245\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Dica de prova rápida: se a força é função de x, transforme o trabalho em \int F(x)\,dx. Identifique a primitiva correta (a integral de e^{ax} é \frac{1}{a}e^{ax}), avalie nos limites e apresente resposta exata e, se for o caso, aproximada com unidades. Vai dar certo — respira fundo e resolve passo a passo.

Resposta

\displaystyle W=\tfrac{1}{4}\bigl(1-e^{-4}\bigr)\\ \mathrm{J}\approx 0{,}245\\ \mathrm{J}

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