Exercício 18 Calcule as integrais de linha.
\oint_{\gamma}\left(x^{2} y^{3}+5\right) \vec{i}+\left(x^{3} y^{2}+2 x\right) \vec{j} d \gamma, sendo \gamma sobre o arco de vértices (1,0),(-1,0) contido no semiplano superior do plano x y, orientada no sentido de (1,0) até (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\gamma}\left(x^{2} y^{3}+5\right)\vec{i}+\left(x^{3} y^{2}+2 x\right)\vec{j}\,d\gamma.
Informações dadas:
  • O campo vetorial tem componentes P(x,y)=x^{2}y^{3}+5,\qquad Q(x,y)=x^{3}y^{2}+2x.
  • A curva \gamma é o arco que liga os pontos (1,0) e (-1,0) contido no semiplano superior do plano xy.
  • A orientação de \gamma é do ponto (1,0) até (-1,0) (ou seja, ao longo do semicírculo superior de raio 1 no sentido anti-horário).

Passo 2

Verificar se o campo é conservativo (isso pode simplificar muito). Para isso calculo as derivadas parciais necessárias:
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\left(x^{2}y^{3}+5\right)=3x^{2}y^{2},
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(x^{3}y^{2}+2x\right)=3x^{2}y^{2}+2.
Comparando,
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}= (3x^{2}y^{2}+2)-3x^{2}y^{2}=2\neq 0.
Como a diferença não é zero (é constante igual a 2), o campo NÃO é conservativo. Logo não podemos reduzir a integral de linha a uma diferença de potenciais; é preciso outro método.

Passo 3

Como \gamma é um semicírculo (não é curva fechada), vou fechar a curva adicionando o segmento reto s do ponto (-1,0) até (1,0) sobre o eixo x. Assim obtenho uma curva fechada C=\gamma\cup s que é a fronteira do semi-disco superior de raio 1. A orientação escolhida é a positiva (anti-horária): \gamma vai de (1,0) para (-1,0) pelo semicírculo superior e s vai de (-1,0) de volta para (1,0) ao longo do eixo x. Pelo teorema de Green, para a curva fechada C vale
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA,
onde D é o semi-disco superior de raio 1. Expliquei o motivo de fechar a curva: Green transforma a integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região, o que aqui fica simples porque \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} é constante.

Passo 4

Calcular a integral dupla pelo teorema de Green. Já calculei a diferença das derivadas parciais e obtive a constante 2. Assim
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\iint_{D}2\,dA=2\cdot \text{Área}(D).Á
A região D é o semi-disco de raio 1, portanto sua área é metade da área do disco de raio 1:
\text{Área}(D)=\tfrac{1}{2}\pi(1)^{2}=\tfrac{\pi}{2}.Á
Substituindo,
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=2\cdot \tfrac{\pi}{2}=\pi.

Passo 5

A integral sobre a curva fechada C se decompõe em integral sobre \gamma mais integral sobre o segmento s:
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy=\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy+\int_{s}P\,dx+Q\,dy.
Já sabemos que o lado esquerdo vale \pi. Agora calculo a integral sobre o segmento s, que é o trecho do eixo x de (-1,0) até (1,0) parametrizado por x=t,\\ y=0 com t variando de -1 até 1. Para esse segmento:
dx=dt,\qquad dy=0,\qquad y=0.
No segmento s temos P(x,0)=x^{2}\cdot 0^{3}+5=5. Então
\int_{s}P\,dx+Q\,dy=\int_{t=-1}^{1}5\,dt=5\bigl[t\bigr]_{-1}^{1}=5(1-(-1))=5\cdot 2=10.

Passo 6

Agora isolamos a integral desejada sobre \gamma:
\int_{\gamma}P\,dx+Q\,dy=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy-\int_{s}P\,dx+Q\,dy=\pi-10.
Verificação rápida de consistência: a orientação escolhida para s (de -1 para 1) é a que fecha a curva no sentido anti-horário, então os sinais estão corretos na aplicação de Green.

Resposta

\pi-10

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