Exercício 18 Calcule as integrais de linha.
, sendo
sobre o arco de vértices
contido no semiplano superior do plano
, orientada no sentido de
até
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
Informações dadas:
- O campo vetorial tem componentes
- A curva
é o arco que liga os pontos e contido no semiplano superior do plano . - A orientação de
é do ponto até (ou seja, ao longo do semicírculo superior de raio no sentido anti-horário).
Passo 2
Verificar se o campo é conservativo (isso pode simplificar muito). Para isso calculo as derivadas parciais necessárias:
Comparando,
Como a diferença não é zero (é constante igual a
), o campo NÃO é conservativo. Logo não podemos reduzir a integral de linha a uma diferença de potenciais; é preciso outro método.
Passo 3
Como
é um semicírculo (não é curva fechada), vou fechar a curva adicionando o segmento reto
do ponto
até
sobre o eixo
. Assim obtenho uma curva fechada
que é a fronteira do semi-disco superior de raio
. A orientação escolhida é a positiva (anti-horária):
vai de
para
pelo semicírculo superior e
vai de
de volta para
ao longo do eixo
. Pelo teorema de Green, para a curva fechada
vale
onde
é o semi-disco superior de raio
. Expliquei o motivo de fechar a curva: Green transforma a integral de linha fechada em uma integral dupla sobre a região, o que aqui fica simples porque
é constante.
Passo 4
Calcular a integral dupla pelo teorema de Green. Já calculei a diferença das derivadas parciais e obtive a constante
. Assim
A região
é o semi-disco de raio
, portanto sua área é metade da área do disco de raio
:
Substituindo,
Passo 5
A integral sobre a curva fechada
se decompõe em integral sobre
mais integral sobre o segmento
:
Já sabemos que o lado esquerdo vale
. Agora calculo a integral sobre o segmento
, que é o trecho do eixo
de
até
parametrizado por
com
variando de
até
. Para esse segmento:
No segmento
temos
. Então
Passo 6
Agora isolamos a integral desejada sobre
:
Verificação rápida de consistência: a orientação escolhida para
(de
para
) é a que fecha a curva no sentido anti-horário, então os sinais estão corretos na aplicação de Green.