- Calcule o trabalho realizado pela força elástica
, com
, sobre uma partícula que sai de
e vai a
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- A força é dada por
. - O vetor posição genérico foi escrito no enunciado como
. Aqui há uma pequena ambiguidade: o enunciado usou no componente em . Vou interpretar esse símbolo como a coordenada (ou seja, o vetor posição é ). Caso isso estivesse errado, o procedimento é o mesmo; só mudaria o nome da coordenada. - O ponto inicial é
, isto é, coordenadas . - O ponto final é
, isto é, coordenadas . - O que o enunciado pede: calcular o trabalho realizado por
quando a partícula vai de a .
Passo 2
Definição e formulação do problema (aulas rápidas e didáticas).
- Definição de trabalho para uma força variável: o trabalho realizado por uma força
ao longo de uma curva que leva de a é
- O diferencial de posição é
. - Produto escalar (dot product): para dois vetores
e , tem-se
- Aplicando isso aqui:
. Então
- Observação importante sobre independência de caminho: essa força é do tipo central linear
. Cada componente depende apenas da coordenada correspondente; isso faz com que a linha integral entre dois pontos seja independente do caminho (ou seja, a força é conservativa). Portanto podemos integrar componente a componente usando os limites nas coordenadas, sem especificar um trajeto.
Passo 3
Cálculo do integral componente a componente.
- Escrevendo o trabalho:
- Como a integral é independente do caminho, podemos transformar isso em integrais nas coordenadas entre os valores iniciais e finais:
- Calcule cada integral básica: para uma variável
,
- Aplicando aos termos:
- Fatorando
:
- Reagrupando como diferença de normas ao quadrado:
onde
.
Passo 4
Substituindo as coordenadas fornecidas e fazendo as contas passo a passo.
- Primeiro calcule
. Das coordenadas de temos , , . Assim
- Agora calcule
. Das coordenadas de temos , , . Assim
- Substituindo na fórmula do trabalho:
- Interpretação física curta (para fixar o conceito): o sinal negativo indica que, no deslocamento de
para , a força elástica efetua trabalho negativo — isto acontece porque a partícula foi movida para mais distante da origem (a energia potencial elástica aumentou), então a força elástica realizou trabalho negativo.
Passo 5
Forma alternativa (curta) que ajuda a entender a origem do resultado: energia potencial.
- Para a força
existe uma energia potencial elástica (analogamente à mola) dada por
- O trabalho realizado pela força conservativa quando a partícula vai de
a é
que é exatamente a expressão usada acima e leva ao mesmo valor numérico
.