1. Calcule o trabalho realizado pela força elástica \vec{F}=-k \vec{r}, com \vec{r}=x \hat{i}+t \hat{j}+z \hat{k}, sobre uma partícula que sai de \vec{r}_{0}=3 \hat{j} e vai a \vec{r}_{1}=2 \hat{i}+5 \hat{j}+1 \hat{k}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • A força é dada por \vec{F}=-k\vec{r}.
  • O vetor posição genérico foi escrito no enunciado como \vec{r}=x\hat{i}+t\hat{j}+z\hat{k}. Aqui há uma pequena ambiguidade: o enunciado usou t no componente em \hat{j}. Vou interpretar esse símbolo como a coordenada y (ou seja, o vetor posição é \vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}). Caso isso estivesse errado, o procedimento é o mesmo; só mudaria o nome da coordenada.
  • O ponto inicial é \vec{r}_{0}=3\hat{j}, isto é, coordenadas \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) = \bigl(0,\,3,\,0\bigr).
  • O ponto final é \vec{r}_{1}=2\hat{i}+5\hat{j}+1\hat{k}, isto é, coordenadas \bigl(x_1,y_1,z_1\bigr) = \bigl(2,\,5,\,1\bigr).
  • O que o enunciado pede: calcular o trabalho realizado por \vec{F} quando a partícula vai de \vec{r}_0 a \vec{r}_1.

Passo 2

Definição e formulação do problema (aulas rápidas e didáticas).
  • Definição de trabalho para uma força variável: o trabalho realizado por uma força \vec{F} ao longo de uma curva \mathcal C que leva de \vec{r}_0 a \vec{r}_1 é
W=\int_{\mathcal C}\vec{F}\cdot d\vec{r}.
  • O diferencial de posição é d\vec{r}=dx\,\hat{i}+dy\,\hat{j}+dz\,\hat{k}.
  • Produto escalar (dot product): para dois vetores \vec{A}=A_x\hat{i}+A_y\hat{j}+A_z\hat{k} e \vec{B}=B_x\hat{i}+B_y\hat{j}+B_z\hat{k}, tem-se
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x+A_yB_y+A_zB_z.
  • Aplicando isso aqui: \vec{F}=-k\vec{r}=-k\bigl(x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}\bigr). Então
\vec{F}\cdot d\vec{r} = -k\bigl(x\,dx + y\,dy + z\,dz\bigr).
  • Observação importante sobre independência de caminho: essa força é do tipo central linear \vec{F}=-k\vec{r}. Cada componente depende apenas da coordenada correspondente; isso faz com que a linha integral entre dois pontos seja independente do caminho (ou seja, a força é conservativa). Portanto podemos integrar componente a componente usando os limites nas coordenadas, sem especificar um trajeto.

Passo 3

Cálculo do integral componente a componente.
  • Escrevendo o trabalho:
W=\int_{\mathcal C}\vec{F}\cdot d\vec{r} = -k\int_{\mathcal C}\bigl(x\,dx + y\,dy + z\,dz\bigr).
  • Como a integral é independente do caminho, podemos transformar isso em integrais nas coordenadas entre os valores iniciais e finais:
W = -k\left(\int_{x_0}^{x_1} x\,dx + \int_{y_0}^{y_1} y\,dy + \int_{z_0}^{z_1} z\,dz\right).
  • Calcule cada integral básica: para uma variável u,
\int_{u_0}^{u_1} u\,du = \frac{1}{2}\bigl(u_1^2 - u_0^2\bigr).
  • Aplicando aos termos:
W = -k\left(\frac{1}{2}\bigl(x_1^2 - x_0^2\bigr) + \frac{1}{2}\bigl(y_1^2 - y_0^2\bigr) + \frac{1}{2}\bigl(z_1^2 - z_0^2\bigr)\right).
  • Fatorando \tfrac{1}{2}:
W = -\frac{k}{2}\Bigl(x_1^2 - x_0^2 + y_1^2 - y_0^2 + z_1^2 - z_0^2\Bigr).
  • Reagrupando como diferença de normas ao quadrado:
W = \frac{k}{2}\bigl(\lVert\vec{r}_0\rVert^2 - \lVert\vec{r}_1\rVert^2\bigr),
onde \lVert\vec{r}\rVert^2 = x^2+y^2+z^2.

Passo 4

Substituindo as coordenadas fornecidas e fazendo as contas passo a passo.
  • Primeiro calcule \lVert\vec{r}_0\rVert^2. Das coordenadas de \vec{r}_0 temos x_0=0, y_0=3, z_0=0. Assim
\lVert\vec{r}_0\rVert^2 = 0^2 + 3^2 + 0^2 = 9.
  • Agora calcule \lVert\vec{r}_1\rVert^2. Das coordenadas de \vec{r}_1 temos x_1=2, y_1=5, z_1=1. Assim
\lVert\vec{r}_1\rVert^2 = 2^2 + 5^2 + 1^2 = 4 + 25 + 1 = 30.
  • Substituindo na fórmula do trabalho:
W = \frac{k}{2}\bigl(9 - 30\bigr) = \frac{k}{2}\bigl(-21\bigr) = -\frac{21}{2}\,k.
  • Interpretação física curta (para fixar o conceito): o sinal negativo indica que, no deslocamento de \vec{r}_0 para \vec{r}_1, a força elástica efetua trabalho negativo — isto acontece porque a partícula foi movida para mais distante da origem (a energia potencial elástica aumentou), então a força elástica realizou trabalho negativo.

Passo 5

Forma alternativa (curta) que ajuda a entender a origem do resultado: energia potencial.
  • Para a força \vec{F}=-k\vec{r} existe uma energia potencial elástica (analogamente à mola) dada por
U(\vec{r})=\frac{1}{2}k\lVert\vec{r}\rVert^2.
  • O trabalho realizado pela força conservativa quando a partícula vai de \vec{r}_0 a \vec{r}_1 é
W = U(\vec{r}_0)-U(\vec{r}_1) = \frac{k}{2}\bigl(\lVert\vec{r}_0\rVert^2 - \lVert\vec{r}_1\rVert^2\bigr),
que é exatamente a expressão usada acima e leva ao mesmo valor numérico -\dfrac{21}{2}k.

Resposta

-\dfrac{21}{2}\,k

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