Um bloco de
está sobre uma tábua de 500 g , que por sua vez, está sobre um plano inclinado. Se os coeficientes de atrito da tábua com o plano são
e
e entre o bloco e a tábua,
e
; determine:
O intervalo de inclinação do plano no qual a tábua e o bloco ficam em repouso;
O intervalo de inclinação do plano no qual a tábua e o bloco ficam em repouso;
Passo 1
O enunciado diz que temos um bloco de massa m₁ = 2,5 kg apoiado sobre uma tábua de massa m₂ = 0,5 kg, e tudo isso fica em um plano inclinado com ângulo θ. Os coeficientes de atrito estático são:
• entre tábua e plano: μₛ,ET = 0,46
• entre bloco e tábua: μₛ,EB = 0,59
• entre tábua e plano: μₛ,ET = 0,46
• entre bloco e tábua: μₛ,EB = 0,59
O que vamos precisar:
• Entender como a força de atrito estático funciona (limite máximo: 𝑓ₐ ≤ μₛ·N).
• Escrever o equilíbrio em cada contato (bloco-tábua e tábua-plano).
• Comparar as duas condições para achar o ângulo máximo.
• Entender como a força de atrito estático funciona (limite máximo: 𝑓ₐ ≤ μₛ·N).
• Escrever o equilíbrio em cada contato (bloco-tábua e tábua-plano).
• Comparar as duas condições para achar o ângulo máximo.
Passo 2
Primeiro, consideramos o bloco sobre a tábua. Ele tende a escorregar para baixo, puxado pela componente do peso ao longo da inclinação:
𝐹ₚ = m₁·g·sin θ
𝐹ₚ = m₁·g·sin θ
Para ficar parado, essa força tem de ser ≤ atrito estático máximo entre bloco e tábua:
𝑓ₐ,max = μₛ,EB·N₁ , onde N₁ = m₁·g·cos θ
𝑓ₐ,max = μₛ,EB·N₁ , onde N₁ = m₁·g·cos θ
Logo:
m₁·g·sin θ ≤ μₛ,EB·(m₁·g·cos θ)
=> tan θ ≤ μₛ,EB = 0,59
=> θ ≤ arctan(0,59) ≃ 30,5°
m₁·g·sin θ ≤ μₛ,EB·(m₁·g·cos θ)
=> tan θ ≤ μₛ,EB = 0,59
=> θ ≤ arctan(0,59) ≃ 30,5°
Passo 3
Agora a tábua (com o bloco em cima) no plano. Se nada se mexe, a soma dos “puxões” para baixo deve ser ≤ atrito entre tábua e plano. A força total para baixo é a soma das componentes ao longo da rampa do bloco e da tábua:
(m₁ + m₂)·g·sin θ
(m₁ + m₂)·g·sin θ
O atrito máximo nesse contato é
μₛ,ET·(m₁ + m₂)·g·cos θ
μₛ,ET·(m₁ + m₂)·g·cos θ
Equilíbrio:
(m₁ + m₂)·g·sin θ ≤ μₛ,ET·(m₁ + m₂)·g·cos θ
=> tan θ ≤ μₛ,ET = 0,46
=> θ ≤ arctan(0,46) ≃ 24,8°
(m₁ + m₂)·g·sin θ ≤ μₛ,ET·(m₁ + m₂)·g·cos θ
=> tan θ ≤ μₛ,ET = 0,46
=> θ ≤ arctan(0,46) ≃ 24,8°
Passo 4
Para ambos, bloco e tábua ficarem parados, as duas condições têm que valer ao mesmo tempo. Como 24,8° < 30,5°, quem manda é a segunda:
θ ≤ 24,8°
θ ≤ 24,8°
Resposta
O intervalo de inclinação para que bloco e tábua permaneçam em repouso é
0° ≤ θ ≤ arctan(0,46) ≃ 24,8°.
0° ≤ θ ≤ arctan(0,46) ≃ 24,8°.