Um bloco de 2,5 kg está sobre uma tábua de 500 g , que por sua vez, está sobre um plano inclinado. Se os coeficientes de atrito da tábua com o plano são muET=0,46 e muCT=0,33 e entre o bloco e a tábua, muEB=0,59 e muCB=0,47; determine:
O intervalo de inclinação do plano no qual a tábua e o bloco movimentam-se com a mesma aceleração;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos um bloco de 2,5 kg em cima de uma tábua de 0,5 kg, tudo apoiado num plano inclinado que faz um ângulo θ com a horizontal. Os coeficientes de atrito são:
  • tábua-plano: μₛ (estático) = 0,46 e μₖ (cinético) = 0,33
  • bloco-tábua: μₛ = 0,59 e μₖ = 0,47
Conteúdo: Forças na rampa, decomposição do peso, atrito estático x dinâmico, ângulos críticos (θ₁, θ₂).
O que precisamos:
  1. achar o θ em que a tábua começa a deslizar (através do atrito estático tábua-plano),
  2. achar o θ em que o bloco começa a deslizar sobre a tábua (atravito estático bloco-tábua).
    Entre esses dois ângulos, tábua e bloco “grudados” têm exatamente a mesma aceleração.

Passo 2

Primeiro, vê quando a tábua nem mexe mais:
A força total que puxa tábua+bloco pra baixo vale
F↓ = (m_tábua + m_bloco)·g·sin θ.
O atrito máximo que segura tudo é
F_atr_max = μₛ,ET·(m_tábua + m_bloco)·g·cos θ.
No limiar de movimento:
(m_t+ m_b)g sin θ₁ = μₛ,ET (m_t+ m_b)g cos θ₁
⟹ tan θ₁ = μₛ,ET = 0,46
⟹ θ₁ = arctan(0,46) ≃ 24,8°
Para θ < θ₁ a tábua e o bloco ficam parados (a = 0) – ambos têm mesma aceleração (zero).

Passo 3

Agora, quando θ passa de θ₁ a tábua desliza e passa a ter aceleração
a = g (sin θ – μₖ,ET cos θ).
Se o bloco “quiser” escorregar na tábua, a força de atrito estático bloco-tábua precisa segurar a diferença entre a tração (inercial) e o peso paralelo. No limite:
f_atr = μₛ,EB·m_b·g·cos θ
e essa força tem que ser ≥ diferença de forças, que (ao fazer as contas) dá exatamente μₖ,ET·m_b·g·cos θ.
Como μₛ,EB = 0,59 > μₖ,ET = 0,33, essa condição sempre segura o bloco para qualquer θ ≥ θ₁.
Mas, se alguém dissesse “olha, e se usássemos só o atrito estático bloco-tábua sem pensar no movimento da tábua?”, acharíamos o ângulo limite
tan θ₂ = μₛ,EB = 0,59
⟹ θ₂ = arctan(0,59) ≃ 30,6°
além de θ₂ o bloco poderia escorregar se a tábua ainda estivesse parada.

Resposta

O bloco e a tábua têm a mesma aceleração (sem deslizar entre si) para todo θ desde 0° até cerca de θ₂ ≃ 30,6°.
Se focarmos no trecho em que ambos realmente deslizam juntos pelo plano, o intervalo é
θ₁ ≤ θ ≤ θ₂
ou seja, de aproximadamente 24,8° até 30,6°.

Exercícios relacionados