1- Um bloco de madeira flutua em água (densidade \rho=1000 \mathrm{Kg} / \mathrm{m}^{3} ) com 7 / 10 de seu volume V submersos e em óled com 0,90 \mathrm{~V} submerso. Determine as densidades (a) da madeira; (b) do óleo.

Passo 1

Vou clarear o que o enunciado dá e o que pede, ponto a ponto.
  • Dados fornecidos:
    • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
    • Quando o bloco flutua na água, a fração do volume submerso é \dfrac{7}{10} (ou seja, V_{\text{sub,água}}=\tfrac{7}{10}Vá).
    • Quando o mesmo bloco flutua em óleo, a fração do volume submerso é 0{,}90 (ou seja, V_{\text{sub,óleo}}=0{,}90\,Vó).
  • O que a questão pede:
    • (a) Determinar a densidade da madeira ( \rho_{\text{madeira}}).
    • (b) Determinar a densidade do óleo ( \rho_{\text{óleo}}ó).

Passo 2

Princípio físico e notação (explicando bem o que vamos usar).
  • Arquimedes (explicação simples): um corpo imerso num fluido sofre uma força para cima chamada força de empuxo. O valor do empuxo é igual ao peso do fluido deslocado.
  • Notação e fórmulas úteis:
    • m = massa do bloco.
    • V = volume total do bloco.
    • V_{\text{sub}} = volume submerso do bloco no fluido considerado.
    • \rho_{\text{madeira}} = densidade do bloco (o que queremos em (a)).
    • \rho_{\text{fluido}} = densidade do fluido (água ou óleo).
    • g = aceleração da gravidade (aparece nas forças mas vai cancelar nas contas).
  • Fórmula do empuxo (Arquimedes): F_{\text{empuxo}}=\rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g.
  • Condição de equilíbrio (flutuação estática): peso do bloco = empuxo m g = \rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g.Como m=\rho_{\text{madeira}}\,V, a igualdade fica \rho_{\text{madeira}}\,V\,g = \rho_{\text{fluido}}\,V_{\text{sub}}\,g.Observação importante: o g aparece dos dois lados e cancela; também podemos dividir por V quando convenientemente disposto.

Passo 3

Determinar a densidade da madeira usando a situação na água.
  • Aplicando a relação de equilíbrio com o fluido = água: \rho_{\text{madeira}}\,V\,g = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub,água}}\,g.áá
  • Cancelando g e dividindo por V: \rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{água}}\;\frac{V_{\text{sub,água}}}{V}.áá
  • Substituindo V_{\text{sub,água}}/V=\dfrac{7}{10}á e \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á: \rho_{\text{madeira}} = 1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \times \tfrac{7}{10}.
  • Fazendo a conta: \rho_{\text{madeira}} = 1000 \times 0{,}7\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = 700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.

Passo 4

Determinar a densidade do óleo usando a situação em óleo e a massa já conhecida.
  • A massa do bloco não muda; escrevendo a condição de equilíbrio para o óleo: \rho_{\text{madeira}}\,V\,g = \rho_{\text{óleo}}\,V_{\text{sub,óleo}}\,g.óó
  • Cancelando g e isolando \rho_{\text{óleo}}ó: \rho_{\text{óleo}} = \rho_{\text{madeira}}\;\frac{V}{V_{\text{sub,óleo}}} = \rho_{\text{madeira}}\;\frac{1}{V_{\text{sub,óleo}}/V}.óóó
  • Substituindo V_{\text{sub,óleo}}/V=0{,}90ó e \rho_{\text{madeira}}=700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3: \rho_{\text{óleo}} = \frac{700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3}{0{,}90}.ó

Passo 5

Fazer a conta final e comentar resultado.
  • Cálculo: \rho_{\text{óleo}} = \dfrac{700}{0{,}90}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = \dfrac{7000}{9}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \approx 777{,}78\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.ó
  • Interpretação curta (motivação para checar a resposta): a densidade do óleo encontrada é menor que a da água ( 777{,}78<1000), o que faz sentido físico — óleo normalmente é menos denso que água, por isso o bloco precisa submergir uma fração maior ( 0{,}90) para equilibrar o seu peso.

Resposta

(a) \rho_{\text{madeira}} = 700\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3
(b) \rho_{\text{óleo}} = \dfrac{700}{0{,}90}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 = \dfrac{7000}{9}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3 \approx 777{,}78\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3ó

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