Um bloco encontra-se em repouso sobre uma rampa de inclinação móvel com coeficientes de atrito estático e dinâmico iguais a
e
, respectivamente.
(a) Qual é o menor ângulo de inclinação da rampa para que o corpo comece a se mover?
(b) Nesse ângulo, qual será a aceleração do movimento na direção da rampa?
(a) Qual é o menor ângulo de inclinação da rampa para que o corpo comece a se mover?
(b) Nesse ângulo, qual será a aceleração do movimento na direção da rampa?
Passo 1
O enunciado dá um bloco sobre uma rampa ajustável (ângulo variável) e fornece os coeficientes de atrito:
- atrito estático (máximo):
, - atrito dinâmico (cinético):
.
O bloco está inicialmente em repouso. As perguntas são:
(a) Qual o menor ângulo da rampa para que o corpo comece a se mover?
(b) Para esse ângulo, qual é a aceleração do bloco na direção da rampa?
(a) Qual o menor ângulo
(b) Para esse ângulo, qual é a aceleração do bloco na direção da rampa?
Passo 2
Vamos identificar as forças que atuam no bloco (isso é importante para montar as equações):
- peso:
apontando verticalmente para baixo; - força normal da rampa:
, perpendicular à superfície; - força de atrito:
, que sempre atua no sentido oposto ao eventual movimento ou à tendência de movimento.
Decompondo o peso em componentes em relação à rampa:
- componente paralela à rampa (para baixo):
; - componente perpendicular à rampa:
.
A força normal, em equilíbrio perpendicular, é:
O atrito estático máximo vale:
Para o bloco permanecer em repouso, a componente paralela
deve ser menor ou igual ao atrito estático máximo. O menor ângulo que faz o bloco começar a deslizar (limite de escorregamento) ocorre quando essa desigualdade se torna igualdade:
Simplificando (cancelando
, que é positivo), obtemos a condição:
Portanto o menor ângulo é
Agora calculamos numericamente:
Passo 3
Resumo parcial e interpretação física: em ângulos menores que
o atrito estático consegue equilibrar
e o bloco fica parado; em
o atrito estático atinge seu máximo e o bloco está no limiar de se mover.
Passo 4
Quando o bloco efetivamente começa a se mover, o atrito que atua é o atrito cinético, cuja intensidade é
Tomando a direção positiva ao longo da rampa para baixo, a força resultante ao longo da rampa é
A aceleração
ao longo da rampa (pela segunda lei de Newton) é
Agora avaliamos essa expressão exatamente no ângulo
. Para facilitar a substituição, usamos identidades trigonométricas para
:
Com
temos
Substituindo os valores numéricos
,
e
:
Passo 5
Interpretação do sinal e comentário físico: escolhemos direção positiva para baixo da rampa; o resultado
é negativo, ou seja, a aceleração aponta para cima da rampa. Em palavras: no instante em que o bloco começa a deslizar (porque o atrito estático se saturou), o atrito cinético é maior que a componente do peso ao longo da rampa (aqui
), então o bloco inicia um movimento e imediatamente sofre uma aceleração contrária ao sentido do movimento — isto é, ele desacelera e tende a parar. Esse efeito é consistente fisicamente quando o coeficiente cinético é maior que o estático.
Força-se um aviso encorajador: é um caso meio “esquisito” porque geralmente
, mas as fórmulas funcionam também quando
.