Um bloco encontra-se em repouso sobre uma rampa de inclinação móvel com coeficientes de atrito estático e dinâmico iguais a \mu_{\mathrm{e}}=0,2 e \mu_{\mathrm{c}}=0,5, respectivamente.
(a) Qual é o menor ângulo de inclinação da rampa para que o corpo comece a se mover?
(b) Nesse ângulo, qual será a aceleração do movimento na direção da rampa?

Passo 1

O enunciado dá um bloco sobre uma rampa ajustável (ângulo variável) e fornece os coeficientes de atrito:
  • atrito estático (máximo): \mu_{\mathrm{e}}=0{,}2,
  • atrito dinâmico (cinético): \mu_{\mathrm{c}}=0{,}5.
O bloco está inicialmente em repouso. As perguntas são:
(a) Qual o menor ângulo \theta da rampa para que o corpo comece a se mover?
(b) Para esse ângulo, qual é a aceleração do bloco na direção da rampa?

Passo 2

Vamos identificar as forças que atuam no bloco (isso é importante para montar as equações):
  • peso: \vec{P}=m\vec{g} apontando verticalmente para baixo;
  • força normal da rampa: \vec{N}, perpendicular à superfície;
  • força de atrito: \vec{f}, que sempre atua no sentido oposto ao eventual movimento ou à tendência de movimento.
Decompondo o peso em componentes em relação à rampa:
  • componente paralela à rampa (para baixo): mg\sin\theta;
  • componente perpendicular à rampa: mg\cos\theta.
A força normal, em equilíbrio perpendicular, é:
N = mg\cos\theta.
O atrito estático máximo vale:
f_{s,\max}=\mu_{\mathrm{e}}N=\mu_{\mathrm{e}}\,mg\cos\theta.
Para o bloco permanecer em repouso, a componente paralela mg\sin\theta deve ser menor ou igual ao atrito estático máximo. O menor ângulo que faz o bloco começar a deslizar (limite de escorregamento) ocorre quando essa desigualdade se torna igualdade:
mg\sin\theta = \mu_{\mathrm{e}}\,mg\cos\theta.
Simplificando (cancelando mg, que é positivo), obtemos a condição:
\tan\theta = \mu_{\mathrm{e}}.
Portanto o menor ângulo é
\theta_{\min}=\arctan\!\big(\mu_{\mathrm{e}}\big)=\arctan(0{,}2).
Agora calculamos numericamente:
\theta_{\min}=\arctan(0{,}2)\approx 11{,}31^\circ.

Passo 3

Resumo parcial e interpretação física: em ângulos menores que \theta_{\min} o atrito estático consegue equilibrar mg\sin\theta e o bloco fica parado; em \theta=\theta_{\min} o atrito estático atinge seu máximo e o bloco está no limiar de se mover.

Passo 4

Quando o bloco efetivamente começa a se mover, o atrito que atua é o atrito cinético, cuja intensidade é
f_k=\mu_{\mathrm{c}}N=\mu_{\mathrm{c}}\,mg\cos\theta.
Tomando a direção positiva ao longo da rampa para baixo, a força resultante ao longo da rampa é
F_{\text{res}}=mg\sin\theta - f_k = mg\sin\theta - \mu_{\mathrm{c}}\,mg\cos\theta.
A aceleração a ao longo da rampa (pela segunda lei de Newton) é
a=\frac{F_{\text{res}}}{m}=g\big(\sin\theta - \mu_{\mathrm{c}}\cos\theta\big).
Agora avaliamos essa expressão exatamente no ângulo \theta=\theta_{\min}=\arctan(\mu_{\mathrm{e}}). Para facilitar a substituição, usamos identidades trigonométricas para \theta=\arctan x:
\sin(\arctan x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}},\qquad \cos(\arctan x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Com x=\mu_{\mathrm{e}} temos
a=g\left(\frac{\mu_{\mathrm{e}}}{\sqrt{1+\mu_{\mathrm{e}}^{2}}}-\mu_{\mathrm{c}}\frac{1}{\sqrt{1+\mu_{\mathrm{e}}^{2}}}\right) = g\,\frac{\mu_{\mathrm{e}}-\mu_{\mathrm{c}}}{\sqrt{1+\mu_{\mathrm{e}}^{2}}}.
Substituindo os valores numéricos \mu_{\mathrm{e}}=0{,}2, \mu_{\mathrm{c}}=0{,}5 e g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}:
\sqrt{1+\mu_{\mathrm{e}}^{2}}=\sqrt{1+0{,}04}=\sqrt{1{,}04}\approx 1{,}0198039,
\mu_{\mathrm{e}}-\mu_{\mathrm{c}}=0{,}2-0{,}5=-0{,}3,
a=9{,}81\cdot\frac{-0{,}3}{1{,}0198039}\approx -2{,}88\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Interpretação do sinal e comentário físico: escolhemos direção positiva para baixo da rampa; o resultado a\approx -2{,}88\\ \mathrm{m/s^{2}} é negativo, ou seja, a aceleração aponta para cima da rampa. Em palavras: no instante em que o bloco começa a deslizar (porque o atrito estático se saturou), o atrito cinético é maior que a componente do peso ao longo da rampa (aqui \mu_{\mathrm{c}}>\mu_{\mathrm{e}}), então o bloco inicia um movimento e imediatamente sofre uma aceleração contrária ao sentido do movimento — isto é, ele desacelera e tende a parar. Esse efeito é consistente fisicamente quando o coeficiente cinético é maior que o estático.
Força-se um aviso encorajador: é um caso meio “esquisito” porque geralmente \mu_{\mathrm{c}}<\mu_{\mathrm{e}}, mas as fórmulas funcionam também quando \mu_{\mathrm{c}}>\mu_{\mathrm{e}}.

Resposta

\theta_{\min}=\arctan(0{,}2)\approx 11{,}31^\circ
a\approx -2{,}88\\ \mathrm{m/s^{2}}

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