Um bloco de madeira homogêneo de volume V é colocado para flutuar em um recipiente com água pura (densidade \rho_{\text {ägua }}=1,00 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}ä ). Observa-se que 60 \% do volume total do bloco permanece imerso na água.
Em seguida, o mesmo bloco de madeira é colocado para flutuar em um recipiente contendo óleo. Nessa nova situação, observa-se que 75 \% do volume total do bloco nermanece imerso no óleo.
Considerando que o bloco flutua em equilibrio em ambas as situações, determine:
  • A) A densidade da madeira ( \rho_{\text {madcira }} ).
  • B) A densidade do óleo ( \rho_{\text {oleo }} ).
    (Adote a aceleração da gravidade como g).

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (A) Determinar a densidade da madeira \rho_{\text{madeira}}.
  • (B) Determinar a densidade do óleo \rho_{\text{óleo}}ó.
Informações fornecidas:
  • Volume do bloco: V (homogêneo).
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}} = 1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}á (peguei esse dado do enunciado).
  • Fração do volume imerso na água: 60\%, ou seja \dfrac{V_{\text{imerso, água}}}{V}=0,60á.
  • Fração do volume imerso no óleo: 75\%, ou seja \dfrac{V_{\text{imerso, óleo}}}{V}=0,75ó.
  • O bloco flutua em equilíbrio em ambas as situações (força de empuxo igual ao peso do bloco).
  • Aceleração da gravidade g pode ser considerada, mas provavelmente vai cancelar nas equações (está indicada no enunciado).

Passo 2

Princípio físico a usar (explicado passo a passo):
  • A lei de Arquimedes diz que o empuxo F_{\text{emp}} sobre um corpo imerso é igual ao peso do fluido deslocado:
F_{\text{emp}} = \rho_{\text{fluido}}\, g\, V_{\text{imerso}},
onde:
  • \rho_{\text{fluido}} é a densidade do fluido (água ou óleo),
  • g é a aceleração da gravidade,
  • V_{\text{imerso}} é o volume do corpo que está abaixo da superfície do fluido.
  • O peso do bloco é
W = \rho_{\text{madeira}}\, g\, V,
onde \rho_{\text{madeira}} é a densidade do bloco e V é seu volume total.
  • Em equilíbrio de flutuação vale F_{\text{emp}} = W. Ou seja:
\rho_{\text{fluido}}\, g\, V_{\text{imerso}} = \rho_{\text{madeira}}\, g\, V.
  • Observação importante: g aparece dos dois lados e cancelará, por isso não precisamos do valor numérico de g.

Passo 3

Aplicando ao caso da água para achar \rho_{\text{madeira}}:
  • Substituindo \rho_{\text{fluido}}=\rho_{\text{água}}á e V_{\text{imerso}}=0,60\,V na igualdade de equilíbrio:
\rho_{\text{água}}\, g\, (0,60\,V) = \rho_{\text{madeira}}\, g\, V.á
  • Cancelando g e V em ambos os lados obtemos uma relação simples:
\rho_{\text{madeira}} = \rho_{\text{água}} \cdot 0,60.á
  • Agora substituo \rho_{\text{água}} = 1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}á:
\rho_{\text{madeira}} = 1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}} \times 0,60 = 0,60\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Interpretação rápida: a madeira tem densidade menor que a da água, por isso flutua; a fração imersa 0,60 é justamente a razão das densidades.

Passo 4

Breve verificação conceitual (para fixar a ideia):
  • A fórmula geral que liga fração imersa f e densidades é
f = \frac{\rho_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{fluido}}}.
  • No caso da água isso dá 0,60 = \dfrac{\rho_{\text{madeira}}}{1,00}, o que concorda com o cálculo anterior.

Passo 5

Usando o resultado anterior para determinar \rho_{\text{óleo}}ó:
  • Para o óleo, aplica-se a mesma condição de equilíbrio com V_{\text{imerso, óleo}}=0,75\,Vó:
\rho_{\text{óleo}}\, g\, (0,75\,V) = \rho_{\text{madeira}}\, g\, V.ó
  • Cancelando g e V:
\rho_{\text{óleo}} \cdot 0,75 = \rho_{\text{madeira}}.ó
  • Isolando \rho_{\text{óleo}}ó:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{\rho_{\text{madeira}}}{0,75}.ó
  • Substituindo \rho_{\text{madeira}} = 0,60\\ \mathrm{g/cm^{3}}:
\rho_{\text{óleo}} = \frac{0,60}{0,75}\\ \mathrm{g/cm^{3}}.ó
  • Fazendo a divisão \dfrac{0,60}{0,75} = \dfrac{60}{75} = \dfrac{4}{5} = 0,80, obtemos
\rho_{\text{óleo}} = 0,80\\ \mathrm{g/cm^{3}}.ó
  • Checagem qualitativa: como \rho_{\text{óleo}}=0,80\\ \mathrm{g/cm^{3}} < \rho_{\text{água}}=1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}óá, é esperado que o bloco fique mais imerso no óleo (75%) do que na água (60%) — coerente com os dados.

Resposta

A) \rho_{\text{madeira}} = 0,60\\ \mathrm{g/cm^{3}}
B) \rho_{\text{óleo}} = 0,80\\ \mathrm{g/cm^{3}}ó

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