Uma esfera maciça e homogênea de volume
e densidade
é mantida totalmente submersa no fundo de um reservatório de água (
) por meio de um fio ideal, vertical, preso ao fundo. A profundidade da água é de
metros.
Considere a aceleração da gravidade
e despreze a resistência do ar e do fluido (áqua) durante a subida.
a) Calcule a tensão
na corda enquanto a esfera está em equilíbrio no fundo.
b) Se o fio for rompido, calcule o tempo
necessário para a esfera atingir a superficie da água.
Considere a aceleração da gravidade
a) Calcule a tensão
b) Se o fio for rompido, calcule o tempo
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados (vou escrevê-los de forma clara para não nos perdermos):
- Volume da esfera:
. - Densidade da esfera:
. - Densidade da água:
. - Altura (profundidade) da água:
. - Aceleração da gravidade:
. - A esfera está totalmente submersa e presa ao fundo por um fio ideal; despreza-se resistência do fluido/ar durante a subida.
O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular a tensão na corda enquanto a esfera está em equilíbrio no fundo;
(b) se o fio for rompido, calcular o tempo necessário para a esfera atingir a superfície da água.
(a) calcular a tensão
(b) se o fio for rompido, calcular o tempo
Passo 2
Conceito físico importante (Archimedes e equilíbrio estático).
- A força de empuxo (buoyant force) em um corpo totalmente submerso é dada por Archimedes:
onde
é a densidade do fluido,
é o volume do corpo e
é a aceleração da gravidade.
- O peso do corpo é
onde
é a massa da esfera.
- Para a esfera em equilíbrio presa ao fundo, a soma das forças (vertical) é zero. A corda precisa exercer uma força para manter a esfera no fundo no caso em que o empuxo supera o peso. Escolhendo sentido positivo para cima, a condição de equilíbrio é
Logo,
Passo 3
Cálculo das quantidades numéricas auxiliares (massa, empuxo e peso).
- Massa da esfera:
- Empuxo:
- Peso:
Passo 4
Cálculo da tensão
na corda enquanto a esfera está em equilíbrio.
- Usando
:
Interpretação simples: o empuxo empurra para cima com
, o peso puxa para baixo com
; a corda fornece os
adicionais para manter equilíbrio no fundo.
Passo 5
Situação após romper o fio: forças e aceleração.
- Ao romper o fio, a única força resultante vertical sobre a esfera (desprezando resistência) é
para cima. - Pela segunda lei de Newton,
Substituindo
e as expressões de empuxo e peso, nota-se que
cancela:
- Calculando numericamente:
Portanto a aceleração é constante e vale
para cima enquanto a esfera permanecer totalmente submersa.
Passo 6
Distância que a esfera percorre até “atingir a superfície” e justificativa.
- Precisamos definir claramente quando a esfera “atinge a superfície da água”. A esfera é atingida pela superfície quando o topo da esfera atinge o nível da água. Se chamarmos
o raio da esfera, a posição do centro inicial (medida a partir da superfície) é (centro a acima do fundo). No instante em que o topo toca a superfície, o centro está a abaixo da superfície. Então a distância que o centro descreve para cima é
- Para obter
usamos a relação do volume de uma esfera:
- Calculemos
numericamente. Primeiro
Tomando a raiz cúbica:
- Assim a distância vertical a ser percorrida pelo centro até o topo atingir a superfície é
Passo 7
Cálculo do tempo
usando cinemática com aceleração constante.
- Partindo do repouso (velocidade inicial
) e aceleração constante , a relação cinemática é
- Isolando
:
- Substituindo
e :