Uma esfera maciça e homogênea de volume V=2,0 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{5} e densidade \rho_{e}=400 \mathrm{kg} / \mathrm{m}^{3} é mantida totalmente submersa no fundo de um reservatório de água ( \rho_{\text {ägua }} =1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}ä ) por meio de um fio ideal, vertical, preso ao fundo. A profundidade da água é de h=3,2 metros.
Considere a aceleração da gravidade g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e despreze a resistência do ar e do fluido (áqua) durante a subida.
a) Calcule a tensão T na corda enquanto a esfera está em equilíbrio no fundo.
b) Se o fio for rompido, calcule o tempo t necessário para a esfera atingir a superficie da água.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados (vou escrevê-los de forma clara para não nos perdermos):
  • Volume da esfera: V=2{,}0\times10^{-3}\\ \mathrm{m}^3.
  • Densidade da esfera: \rho_{e}=400\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3.
  • Densidade da água: \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^3á.
  • Altura (profundidade) da água: h=3{,}2\\ \mathrm{m}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
  • A esfera está totalmente submersa e presa ao fundo por um fio ideal; despreza-se resistência do fluido/ar durante a subida.
O enunciado pede duas coisas:
(a) calcular a tensão T na corda enquanto a esfera está em equilíbrio no fundo;
(b) se o fio for rompido, calcular o tempo t necessário para a esfera atingir a superfície da água.

Passo 2

Conceito físico importante (Archimedes e equilíbrio estático).
  • A força de empuxo (buoyant force) em um corpo totalmente submerso é dada por Archimedes:
F_{\text{emp}}=\rho_{\text{água}}\,V\,g,á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade do fluido, V é o volume do corpo e g é a aceleração da gravidade.
  • O peso do corpo é
P = m g = \rho_{e}\,V\,g,
onde m=\rho_e V é a massa da esfera.
  • Para a esfera em equilíbrio presa ao fundo, a soma das forças (vertical) é zero. A corda precisa exercer uma força para manter a esfera no fundo no caso em que o empuxo supera o peso. Escolhendo sentido positivo para cima, a condição de equilíbrio é
F_{\text{emp}} - P - T = 0.
Logo,
T = F_{\text{emp}} - P.

Passo 3

Cálculo das quantidades numéricas auxiliares (massa, empuxo e peso).
  • Massa da esfera:
m=\rho_{e}V=400\cdot 2{,}0\times10^{-3}=0{,}8\\ \mathrm{kg}.
  • Empuxo:
F_{\text{emp}}=\rho_{\text{água}}Vg=1000\cdot 2{,}0\times10^{-3}\cdot10=20\\ \mathrm{N}.á
  • Peso:
P=\rho_{e}Vg=400\cdot 2{,}0\times10^{-3}\cdot10=8\\ \mathrm{N}.

Passo 4

Cálculo da tensão T na corda enquanto a esfera está em equilíbrio.
  • Usando T=F_{\text{emp}}-P:
T=20-8=12\\ \mathrm{N}.
Interpretação simples: o empuxo empurra para cima com 20\\ \mathrm{N}, o peso puxa para baixo com 8\\ \mathrm{N}; a corda fornece os 12\\ \mathrm{N} adicionais para manter equilíbrio no fundo.

Passo 5

Situação após romper o fio: forças e aceleração.
  • Ao romper o fio, a única força resultante vertical sobre a esfera (desprezando resistência) é F_{\text{res}}=F_{\text{emp}}-P para cima.
  • Pela segunda lei de Newton,
m a = F_{\text{emp}} - P.
Substituindo m=\rho_e V e as expressões de empuxo e peso, nota-se que V cancela:
a=\frac{F_{\text{emp}}-P}{m}=\frac{(\rho_{\text{água}}-\rho_e)Vg}{\rho_e V}=\frac{\rho_{\text{água}}-\rho_e}{\rho_e}\,g.áá
  • Calculando numericamente:
a=\frac{1000-400}{400}\cdot10=\frac{600}{400}\cdot10=1{,}5\cdot10=15\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2.
Portanto a aceleração é constante e vale 15\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2 para cima enquanto a esfera permanecer totalmente submersa.

Passo 6

Distância que a esfera percorre até “atingir a superfície” e justificativa.
  • Precisamos definir claramente quando a esfera “atinge a superfície da água”. A esfera é atingida pela superfície quando o topo da esfera atinge o nível da água. Se chamarmos r o raio da esfera, a posição do centro inicial (medida a partir da superfície) é z_{\text{inicial}}=h-r (centro a r acima do fundo). No instante em que o topo toca a superfície, o centro está a z_{\text{final}}=r abaixo da superfície. Então a distância que o centro descreve para cima é
s=(h-r)-r=h-2r.
  • Para obter r usamos a relação do volume de uma esfera:
V=\frac{4}{3}\pi r^3 \quad\Rightarrow\quad r=\left(\frac{3V}{4\pi}\right)^{1/3}.
  • Calculemos r numericamente. Primeiro
\frac{3V}{4\pi}=\frac{3\cdot 2{,}0\times10^{-3}}{4\pi}=\frac{6{,}0\times10^{-3}}{4\pi}\approx4{,}7746\times10^{-4}.
Tomando a raiz cúbica:
r\approx 0{,}07814\\ \mathrm{m}\quad(\text{aprox. }7{,}8\\ \mathrm{cm}).
  • Assim a distância vertical a ser percorrida pelo centro até o topo atingir a superfície é
s=h-2r=3{,}2-2\cdot0{,}07814\approx3{,}0437\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Cálculo do tempo t usando cinemática com aceleração constante.
  • Partindo do repouso (velocidade inicial v_0=0) e aceleração constante a, a relação cinemática é
s=\tfrac{1}{2} a t^2.
  • Isolando t:
t=\sqrt{\frac{2s}{a}}.
  • Substituindo s\approx3{,}0437\\ \mathrm{m} e a=15\\ \mathrm{m}/\mathrm{s}^2:
t=\sqrt{\frac{2\cdot3{,}0437}{15}}=\sqrt{0{,}40583}\approx0{,}637\\ \mathrm{s}.

Resposta

T=12\\ \mathrm{N}
t\approx0{,}64\\ \mathrm{s}

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