Um tanque grande e aberto para a atmosfera está cheio de óleo ( \rho=800 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) até uma altura h=5 \mathrm{~m}. Um pequeno orificio é feito na parede lateral do tanque, a uma profundidade de h_{\text {orificio }}=3,2 \mathrm{~m} abaixo da superfície livre do óleo.
a) Considerando que a velocidade da superficie do óleo é desprezivel, calcule a velocidade de saída do óleo pelo orificio ( \boldsymbol{v}_{\text {saída }}í ) usando a equação de Bernoulli.
b) Se a pressão atmosférica é 101300 Pa , qual é a pressão absoluta no orificio imediatamente antes do óleo sair? (Considere g=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (peguei todos os números do enunciado):
  • Densidade do óleo: \rho=800\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Altura da coluna de óleo até a superfície livre: h=5\\ \mathrm{m} (informação dada, mas não necessária para o cálculo do orifício).
  • Profundidade do orifício abaixo da superfície livre: h_{\text{orifício}}=3{,}2\\ \mathrm{m}í.
  • Pressão atmosférica: p_{\text{atm}}=101300\\ \mathrm{Pa}.
  • Aceleração da gravidade: g=10\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Afirmação do enunciado: velocidade da superfície do óleo desprezível (ou seja, v_{\text{superfície}}\approx0í).
Perguntas:
(a) Calcular a velocidade de saída do óleo pelo orifício, v_{\text{saída}}í, usando Bernoulli.
(b) Calcular a pressão absoluta no orifício imediatamente antes do óleo sair.

Passo 2

Condições e ideia a usar para (a) (sem resolver ainda):
  • Aplicar a equação de Bernoulli entre dois pontos do mesmo escoamento: ponto 1 na superfície livre do óleo e ponto 2 no orifício na saída. A equação de Bernoulli (para fluido incompressível, fluxo estacionário e desprezando perdas por atrito) é
\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}v^{2}+g z=\text{constante}
onde:
  • p é a pressão no ponto (Pa),
  • \rho é a densidade do fluido ( \mathrm{kg/m^{3}}),
  • v é a velocidade do fluido no ponto ( \mathrm{m/s}),
  • g é a aceleração da gravidade ( \mathrm{m/s^{2}}),
  • z é a cota vertical do ponto (m).
Escolhendo o nível de referência tal que a superfície tenha cota z_1 e o orifício tenha cota z_2=z_1-h_{\text{orifício}}í. Para os pontos:
  • Ponto 1 (superfície): p_1=p_{\text{atm}}, v_1\approx0, z_1.
  • Ponto 2 (na saída, imediatamente fora do orifício): p_2=p_{\text{atm}} (pois fora é atmosfera), v_2=v_{\text{saída}}í, z_2=z_1-h_{\text{orifício}}í.

Passo 3

Aplicando Bernoulli entre 1 e 2 e substituindo os valores descritos:
\frac{p_1}{\rho}+\frac{1}{2}v_1^{2}+g z_1=\frac{p_2}{\rho}+\frac{1}{2}v_2^{2}+g z_2.
Como p_1=p_2=p_{\text{atm}} e v_1\approx0, os termos \dfrac{p_1}{\rho} e \dfrac{p_2}{\rho} se cancelam, restando
0+0+g z_1=\frac{1}{2}v_{\text{saída}}^{2}+g z_2.í
Então
g(z_1-z_2)=\frac{1}{2}v_{\text{saída}}^{2}.í
Mas z_1-z_2=h_{\text{orifício}}í, logo
\frac{1}{2}v_{\text{saída}}^{2}=g h_{\text{orifício}}íí
e isolando v_{\text{saída}}í:
v_{\text{saída}}=\sqrt{2 g h_{\text{orifício}}}.íí
Esta é a fórmula de Torricelli — resultado direto da Bernoulli para saída livre.

Passo 4

Calculemos numericamente v_{\text{saída}}í com g=10\\ \mathrm{m/s^{2}} e h_{\text{orifício}}=3{,}2\\ \mathrm{m}í:
v_{\text{saída}}=\sqrt{2\cdot 10 \cdot 3{,}2}=\sqrt{64}=8\\ \mathrm{m/s}.í
Comentário prático: a velocidade é razoavelmente alta ( 8\\ \mathrm{m/s}). A hipótese de velocidade da superfície desprezível é aceitável se o tanque for grande comparado ao orifício.

Passo 5

Para (b) — pressão absoluta no orifício imediatamente antes do óleo sair:
  • Antes do escoamento começar, ou olhando para a pressão dentro do fluido na parede do tanque na profundidade h_{\text{orifício}}í, vale a lei da hidrostatística:
p_{\text{orifício}}=p_{\text{atm}}+\rho g h_{\text{orifício}}.íí
Aqui:
  • p_{\text{atm}}=101300\\ \mathrm{Pa},
  • \rho=800\\ \mathrm{kg/m^{3}},
  • g=10\\ \mathrm{m/s^{2}},
  • h_{\text{orifício}}=3{,}2\\ \mathrm{m}í.

Passo 6

Calculemos numericamente a pressão:
p_{\text{orifício}}=101300 + 800\cdot 10\cdot 3{,}2 = 101300 + 25600 = 126900\\ \mathrm{Pa}.í
Interpretação curta: esse é o valor absoluto da pressão no interior do fluido na profundidade do orifício imediatamente antes de iniciar o escoamento. Quando o fluido flui para fora, o ponto de saída exterior tem p_{\text{atm}} e a diferença de pressão é responsável pela aceleração (velocidade) do jato.

Resposta

\;v_{\text{saída}}=8\\ \mathrm{m/s}í
\;p_{\text{orifício}}=126900\\ \mathrm{Pa}í

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