Um bloco de madeira possui comprimento de 0,600 \mathrm{~m}, largura de 0,250 \mathrm{~m}, espessura de 0,080 \mathrm{~m} e densidade de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja alinha com a superfície da água? Determine também a massa deste volume de chumbo.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Comprimento do bloco: L = 0,600\\ \mathrm{m}.
  • Largura do bloco: W = 0,250\\ \mathrm{m}.
  • Espessura (altura) do bloco: H = 0,080\\ \mathrm{m}.
  • Densidade da madeira: \rho_{\text{madeira}} = 600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Queremos que o topo do bloco fique alinhado com a superfície da água (ou seja, o bloco fica totalmente submerso, com o chumbo amarrado por baixo também submerso), em água calma.
  • Precisamos encontrar:
    1. O volume de chumbo que deve ser amarrado embaixo do bloco (em \mathrm{m^{3}}).
    2. A massa desse volume de chumbo (em \mathrm{kg}).
Observação: o enunciado não dá explicitamente as densidades da água nem do chumbo; vou usar os valores padrão: \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e \rho_{\text{chumbo}} = 11340\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Se você tiver outras convenções, me avise, mas esses são os valores usuais.

Passo 2

Calcular o volume do bloco de madeira. A fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo é produto das três dimensões:
V_{\text{bloco}} = L\cdot W\cdot H.
Substituindo os valores:
V_{\text{bloco}} = 0,600\cdot 0,250\cdot 0,080.
Agora vamos multiplicar passo a passo (sem pular contas): 0,600\cdot 0,250 = 0,150. Em seguida 0,150\cdot 0,080 = 0,012. Portanto
V_{\text{bloco}} = 0,012\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 3

Calcular a massa do bloco de madeira usando a relação massa = densidade × volume:
m_{\text{madeira}} = \rho_{\text{madeira}}\;V_{\text{bloco}}.
Substituindo:
m_{\text{madeira}} = 600\cdot 0,012 = 7,2\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Explicar o princípio físico que usamos (a regra do jogo): o Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em equação:
F_{\text{empuxo}} = \rho_{\text{água}}\;g\;V_{\text{submerso}},á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade da água, g é a aceleração da gravidade e V_{\text{submerso}} é o volume total do corpo (ou dos corpos) submerso. Em equilíbrio flutuante, o empuxo equilibra o peso total do conjunto (madeira + chumbo):
\rho_{\text{água}}\;g\;V_{\text{submerso}} = (m_{\text{madeira}} + m_{\text{chumbo}})\;g.á
Podemos simplificar cancelando g dos dois lados:
\rho_{\text{água}}\;V_{\text{submerso}} = m_{\text{madeira}} + m_{\text{chumbo}}.á

Passo 5

Identificar V_{\text{submerso}} no nosso caso. Como queremos que o topo do bloco esteja exatamente ao nível da superfície, o bloco fica totalmente submerso e o chumbo preso por baixo também ficará submerso. Portanto o volume submerso é a soma dos volumes do bloco e do chumbo:
V_{\text{submerso}} = V_{\text{bloco}} + V_{\text{chumbo}}.
Também escrevemos as massas em termos das densidades:
m_{\text{madeira}} = \rho_{\text{madeira}}\,V_{\text{bloco}},\qquad m_{\text{chumbo}} = \rho_{\text{chumbo}}\,V_{\text{chumbo}}.

Passo 6

Montar a equação de equilíbrio substituindo tudo:
\rho_{\text{água}}(V_{\text{bloco}} + V_{\text{chumbo}}) = \rho_{\text{madeira}}\,V_{\text{bloco}} + \rho_{\text{chumbo}}\,V_{\text{chumbo}}.á
Agora isolamos V_{\text{chumbo}}. Primeiro reorganizando termos:
\rho_{\text{água}}V_{\text{bloco}} + \rho_{\text{água}}V_{\text{chumbo}} = \rho_{\text{madeira}}V_{\text{bloco}} + \rho_{\text{chumbo}}V_{\text{chumbo}}.áá
Colocando os termos com V_{\text{chumbo}} num lado e o restante no outro:
\rho_{\text{água}}V_{\text{chumbo}} - \rho_{\text{chumbo}}V_{\text{chumbo}} = \rho_{\text{madeira}}V_{\text{bloco}} - \rho_{\text{água}}V_{\text{bloco}}.áá
Fatorando V_{\text{chumbo}} e V_{\text{bloco}}:
V_{\text{chumbo}}(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{chumbo}}) = V_{\text{bloco}}(\rho_{\text{madeira}} - \rho_{\text{água}}).áá
Para evitar sinais negativos, podemos reescrever de forma equivalente (multiplicando por -1 ambos lados):
V_{\text{chumbo}}(\rho_{\text{chumbo}} - \rho_{\text{água}}) = V_{\text{bloco}}(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{madeira}}).áá
Finalmente isolamos V_{\text{chumbo}}:
V_{\text{chumbo}} = \frac{V_{\text{bloco}}(\rho_{\text{água}} - \rho_{\text{madeira}})}{\rho_{\text{chumbo}} - \rho_{\text{água}}}.áá
Esta fórmula faz sentido fisicamente: o numerador é a “falta de empuxo” causada pelo fato da madeira ser menos densa que a água; o denominador é a diferença de densidade entre o chumbo e a água (quanto mais denso o chumbo, menor volume é necessário).

Passo 7

Substituir os valores numéricos na fórmula. Lembrando dos valores que estamos usando: \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á e \rho_{\text{chumbo}} = 11340\\ \mathrm{kg/m^{3}}. Então
V_{\text{chumbo}} = \frac{0,012\cdot(1000 - 600)}{11340 - 1000}.
Calcular passo a passo: 1000-600 = 400. Então o numerador é 0,012\cdot 400 = 4,8 (unidade: \mathrm{kg/m^{3}}\cdot\mathrm{m^{3}}=\mathrm{kg}, mas ao dividir por densidade voltamos a \mathrm{m^{3}}). O denominador é 11340-1000 = 10340. Portanto
V_{\text{chumbo}} = \frac{4,8}{10340}\\ \mathrm{m^{3}} \approx 0,000464\\ \mathrm{m^{3}}.
Para uma escrita com notação científica e 3 algarismos significativos:
V_{\text{chumbo}} \approx 4,64\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}.

Passo 8

Calcular a massa do chumbo correspondente:
m_{\text{chumbo}} = \rho_{\text{chumbo}}\,V_{\text{chumbo}}.
Substituindo valores numéricos (usando V_{\text{chumbo}} calculado):
m_{\text{chumbo}} = 11340\cdot 0,000464\\ \mathrm{kg} \approx 5,27\\ \mathrm{kg}.

Passo 9

Checagem rápida de consistência (útil na prova): a massa total deve ser igual à massa da água deslocada:
\text{massa total} = m_{\text{madeira}} + m_{\text{chumbo}} \approx 7,2 + 5,27 = 12,47\\ \mathrm{kg}.
O volume submerso é V_{\text{bloco}}+V_{\text{chumbo}} \approx 0,012 + 0,000464 = 0,012464\\ \mathrm{m^{3}}. A massa da água deslocada é \rho_{\text{água}}\timesá esse volume =1000\cdot 0,012464 \approx 12,464\\ \mathrm{kg}, igual (dentro de arredondamentos) à massa total do conjunto — portanto está consistente.

Resposta

V_{\text{chumbo}} = 4,64\times 10^{-4}\\ \mathrm{m^{3}}
m_{\text{chumbo}} = 5,27\\ \mathrm{kg}

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