Um bloco de madeira possui comprimento de
, largura de
, espessura de
e densidade de
. Qual deve ser o volume de chumbo que pode ser amarrado embaixo do bloco de madeira para que ele possa flutuar em água calma de modo que o seu topo esteja alinha com a superfície da água? Determine também a massa deste volume de chumbo.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo com calma para não nos perder):
- Comprimento do bloco:
. - Largura do bloco:
. - Espessura (altura) do bloco:
. - Densidade da madeira:
. - Queremos que o topo do bloco fique alinhado com a superfície da água (ou seja, o bloco fica totalmente submerso, com o chumbo amarrado por baixo também submerso), em água calma.
- Precisamos encontrar:
- O volume de chumbo que deve ser amarrado embaixo do bloco (em
). - A massa desse volume de chumbo (em
).
- O volume de chumbo que deve ser amarrado embaixo do bloco (em
Observação: o enunciado não dá explicitamente as densidades da água nem do chumbo; vou usar os valores padrão:
e
. Se você tiver outras convenções, me avise, mas esses são os valores usuais.
Passo 2
Calcular o volume do bloco de madeira. A fórmula do volume de um paralelepípedo retângulo é produto das três dimensões:
Substituindo os valores:
Agora vamos multiplicar passo a passo (sem pular contas):
. Em seguida
. Portanto
Passo 3
Calcular a massa do bloco de madeira usando a relação massa = densidade × volume:
Substituindo:
Passo 4
Explicar o princípio físico que usamos (a regra do jogo): o Princípio de Arquimedes diz que a força de empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado. Em equação:
onde
é a densidade da água,
é a aceleração da gravidade e
é o volume total do corpo (ou dos corpos) submerso. Em equilíbrio flutuante, o empuxo equilibra o peso total do conjunto (madeira + chumbo):
Podemos simplificar cancelando
dos dois lados:
Passo 5
Identificar
no nosso caso. Como queremos que o topo do bloco esteja exatamente ao nível da superfície, o bloco fica totalmente submerso e o chumbo preso por baixo também ficará submerso. Portanto o volume submerso é a soma dos volumes do bloco e do chumbo:
Também escrevemos as massas em termos das densidades:
Passo 6
Montar a equação de equilíbrio substituindo tudo:
Agora isolamos
. Primeiro reorganizando termos:
Colocando os termos com
num lado e o restante no outro:
Fatorando
e
:
Para evitar sinais negativos, podemos reescrever de forma equivalente (multiplicando por
ambos lados):
Finalmente isolamos
:
Esta fórmula faz sentido fisicamente: o numerador é a “falta de empuxo” causada pelo fato da madeira ser menos densa que a água; o denominador é a diferença de densidade entre o chumbo e a água (quanto mais denso o chumbo, menor volume é necessário).
Passo 7
Substituir os valores numéricos na fórmula. Lembrando dos valores que estamos usando:
e
. Então
Calcular passo a passo:
. Então o numerador é
(unidade:
, mas ao dividir por densidade voltamos a
). O denominador é
. Portanto
Para uma escrita com notação científica e 3 algarismos significativos:
Passo 8
Calcular a massa do chumbo correspondente:
Substituindo valores numéricos (usando
calculado):
Passo 9
Checagem rápida de consistência (útil na prova): a massa total deve ser igual à massa da água deslocada:
O volume submerso é
. A massa da água deslocada é
esse volume
, igual (dentro de arredondamentos) à massa total do conjunto — portanto está consistente.