Um furo é feito à altura \boldsymbol{h} no lado de um tanque aberto de altura \boldsymbol{h}_{0}. O recipiente cheio de água está em um terreno nivelado. Se a água deve ser projetada horizontalmente o mais distante possível,
a) que distância do fundo do recipiente o furo de ser feito?
b) Ignorando as perdas por atrito, a que distância (inicialmente) do lado do recipiente a água atingirá o solo?

Passo 1

O enunciado dá um tanque aberto com altura \,h_{0}\, (altura do nível da água acima do fundo) e um furo feito a uma altura \,h\, medida a partir do fundo do recipiente. O tanque está cheio de água e apoiado num terreno nivelado (o solo é horizontal). A água sai horizontalmente pelo furo e cai no solo distante do pé do tanque. As perguntas são:
a) Em que altura \,h\, o furo deve ser feito para que a água seja projetada horizontalmente o mais longe possível?
b) Ignorando perdas por atrito (ou seja, assumindo saída ideal), qual será (inicialmente) a distância horizontal do lado do recipiente até o ponto onde a água atinge o solo?
Informações relevantes do enunciado:
  • Altura total do líquido: \,h_{0}\,.
  • Furo feito a altura \,h\, (variável a ser escolhida).
  • Saída de água é horizontal.
  • Solo é nivelado (horizontal) e está à mesma referência vertical do fundo do tanque (o que importa é a queda vertical \,h\,).
  • Desprezar atrito e perdas (usar saída ideal / Torricelli).

Passo 2

Vamos obter a velocidade de saída da água pelo furo. Aqui usamos a conservação de energia entre o nível livre da água (topo) e o orifício: a fórmula de Torricelli (derivada de Bernoulli) diz que a velocidade de saída de um fluido por um orifício, quando a pressão atmosférica é a mesma no nível livre e na saída e a velocidade do nível livre é desprezível, é igual à velocidade que um corpo teria ao cair livremente pela diferença de altura entre esses pontos.
A equação resultante é:
v=\sqrt{2g\bigl(h_{0}-h\bigr)}
Explicando cada termo: \,v\, é a velocidade horizontal do jato na saída; \,g\, é a aceleração da gravidade; \,h_{0}-h\, é a diferença de altura entre o nível livre da água e o orifício (a cabeça hidráulica que “empurra” o jato). Essa fórmula vem de igualar a energia potencial perdida (g(h_0-h)) com a energia cinética (v^2/2).

Passo 3

Agora tratamos o movimento do jato a partir do orifício como um lançamento horizontal: componente horizontal da velocidade é \,v\, obtida acima; componente vertical inicial é zero. A água cai verticalmente uma distância igual a \,h\, (desde o furo até o solo). A equação do movimento vertical (queda livre) é:
h=\tfrac{1}{2}gt^{2}
onde \,t\, é o tempo de queda. Resolvendo para \,t\,:
t=\sqrt{\dfrac{2h}{g}}
Observação didática: esse tempo não depende da velocidade horizontal — é a independência dos movimentos horizontal e vertical num projétil.

Passo 4

A distância horizontal percorrida pelo jato (a partir do lado do tanque até o ponto onde toca o solo) é:
x = v\,t
Substituindo as expressões de \,v\, e \,t\, obtidas:
x = \sqrt{2g(h_{0}-h)} \;\cdot\; \sqrt{\dfrac{2h}{g}}
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Multiplicando os radicais:
x = \sqrt{ \bigl(2g(h_{0}-h)\bigr)\cdot\bigl(\tfrac{2h}{g}\bigr) }.
Dentro do radical, g cancela:
x = \sqrt{4\,h\,(h_{0}-h)}.
Extraindo a constante:
x = 2\sqrt{h(h_{0}-h)}.
Portanto a distância horizontal em função de \,h\, é \,x(h)=2\sqrt{h(h_{0}-h)}\,.

Passo 5

Queremos escolher \,h\, que maximize \,x(h). É mais simples maximizar x^{2} (porque \sqrt{\cdot} é monotônica crescente). Defina
X(h)=x^{2}(h)=4\,h\,(h_{0}-h)=4\bigl(h_{0}h-h^{2}\bigr).
Maximizamos X(h) derivando em relação a \,h\, e igualando a zero:
\frac{dX}{dh}=4\bigl(h_{0}-2h\bigr)=0.
Isso dá
h_{0}-2h=0\quad\Rightarrow\quad h=\dfrac{h_{0}}{2}.
Verificação de máximo: a segunda derivada é \frac{d^{2}X}{dh^{2}}=4(-2)=-8<0, logo é um máximo local (e único no intervalo físico 0<h<h_0).
Intuição: a expressão h(h_{0}-h) é um produto simétrico que atinge máximo quando os dois fatores são iguais, ou seja quando h=(h_{0}-h).

Passo 6

Agora calcule a distância máxima correspondente substituindo \,h=\dfrac{h_{0}}{2} em \,x(h)=2\sqrt{h(h_{0}-h)}:
x_{\max}=2\sqrt{\dfrac{h_{0}}{2}\left(h_{0}-\dfrac{h_{0}}{2}\right)}=2\sqrt{\dfrac{h_{0}}{2}\cdot\dfrac{h_{0}}{2}}=2\cdot\dfrac{h_{0}}{2}=h_{0}.
Portanto a máxima distância horizontal (ignorando perdas) é igual à altura total do líquido \,h_{0}.
Exemplo numérico rápido para fixar: se \,h_{0}=1{,}0\\ \text{m}, o furo deve ficar a \,h=0{,}5\\ \text{m} do fundo e a água cairá no solo a \,1{,}0\\ \text{m} do pé do tanque (inicialmente, sem atrito).

Resposta

a) \,h=\dfrac{h_{0}}{2}
b) \,x_{\max}=h_{0}

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