Um furo é feito à altura
no lado de um tanque aberto de altura
. O recipiente cheio de água está em um terreno nivelado. Se a água deve ser projetada horizontalmente o mais distante possível,
a) que distância do fundo do recipiente o furo de ser feito?
b) Ignorando as perdas por atrito, a que distância (inicialmente) do lado do recipiente a água atingirá o solo?
a) que distância do fundo do recipiente o furo de ser feito?
b) Ignorando as perdas por atrito, a que distância (inicialmente) do lado do recipiente a água atingirá o solo?
Passo 1
O enunciado dá um tanque aberto com altura
(altura do nível da água acima do fundo) e um furo feito a uma altura
medida a partir do fundo do recipiente. O tanque está cheio de água e apoiado num terreno nivelado (o solo é horizontal). A água sai horizontalmente pelo furo e cai no solo distante do pé do tanque. As perguntas são:
a) Em que altura o furo deve ser feito para que a água seja projetada horizontalmente o mais longe possível?
b) Ignorando perdas por atrito (ou seja, assumindo saída ideal), qual será (inicialmente) a distância horizontal do lado do recipiente até o ponto onde a água atinge o solo?
a) Em que altura
b) Ignorando perdas por atrito (ou seja, assumindo saída ideal), qual será (inicialmente) a distância horizontal do lado do recipiente até o ponto onde a água atinge o solo?
Informações relevantes do enunciado:
- Altura total do líquido:
. - Furo feito a altura
(variável a ser escolhida). - Saída de água é horizontal.
- Solo é nivelado (horizontal) e está à mesma referência vertical do fundo do tanque (o que importa é a queda vertical
). - Desprezar atrito e perdas (usar saída ideal / Torricelli).
Passo 2
Vamos obter a velocidade de saída da água pelo furo. Aqui usamos a conservação de energia entre o nível livre da água (topo) e o orifício: a fórmula de Torricelli (derivada de Bernoulli) diz que a velocidade de saída de um fluido por um orifício, quando a pressão atmosférica é a mesma no nível livre e na saída e a velocidade do nível livre é desprezível, é igual à velocidade que um corpo teria ao cair livremente pela diferença de altura entre esses pontos.
A equação resultante é:
Explicando cada termo:
é a velocidade horizontal do jato na saída;
é a aceleração da gravidade;
é a diferença de altura entre o nível livre da água e o orifício (a cabeça hidráulica que “empurra” o jato). Essa fórmula vem de igualar a energia potencial perdida
com a energia cinética
.
Passo 3
Agora tratamos o movimento do jato a partir do orifício como um lançamento horizontal: componente horizontal da velocidade é
obtida acima; componente vertical inicial é zero. A água cai verticalmente uma distância igual a
(desde o furo até o solo). A equação do movimento vertical (queda livre) é:
onde
é o tempo de queda. Resolvendo para
:
Observação didática: esse tempo não depende da velocidade horizontal — é a independência dos movimentos horizontal e vertical num projétil.
Passo 4
A distância horizontal percorrida pelo jato (a partir do lado do tanque até o ponto onde toca o solo) é:
Substituindo as expressões de
e
obtidas:
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Multiplicando os radicais:
Dentro do radical,
cancela:
Extraindo a constante:
Portanto a distância horizontal em função de
é
.
Passo 5
Queremos escolher
que maximize
. É mais simples maximizar
(porque
é monotônica crescente). Defina
Maximizamos
derivando em relação a
e igualando a zero:
Isso dá
Verificação de máximo: a segunda derivada é
, logo é um máximo local (e único no intervalo físico
).
Intuição: a expressão
é um produto simétrico que atinge máximo quando os dois fatores são iguais, ou seja quando
.
Passo 6
Agora calcule a distância máxima correspondente substituindo
em
:
Portanto a máxima distância horizontal (ignorando perdas) é igual à altura total do líquido
.
Exemplo numérico rápido para fixar: se
, o furo deve ficar a
do fundo e a água cairá no solo a
do pé do tanque (inicialmente, sem atrito).
Resposta
a)
b)
b)