Um bloco de madeira tem uma massa de 4,2 \mathrm{~kg} e densidade de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Ele deve ser carregado com chumbo (de densidade 11,4 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) de modo que flutue em água com 80 \% de seu volume submerso.
Que massa de chumbo é necessária se ele for fixado no topo do bloco de madeira?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa clara:
Dados:
  • Massa do bloco de madeira: m_{\text{madeira}} = 4{,}2\\ \mathrm{kg}.
  • Densidade da madeira: \rho_{\text{madeira}} = 600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Densidade do chumbo: \rho_{\text{chumbo}} = 11{,}4\times 10^{3}\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • A água tem densidade \rho_{\text{água}} = 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (valor padrão).
  • O sistema (bloco + chumbo) deve flutuar com 80\% do seu volume total submerso.
Pergunta:
  • Qual a massa de chumbo m_{\text{chumbo}} necessária se o chumbo for fixado no topo do bloco de madeira?

Passo 2

Conceito físico principal (bem mastigado): princípio de Arquimedes.
  • Arquimedes diz que o empuxo sobre um corpo imerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado.
  • Para flutuar em equilíbrio, empuxo = peso do sistema.
  • Empuxo em valor de massa (multiplicando por 1/g) é: \rho_{\text{água}}\cdot V_{\text{submerso}}á.
  • Peso do sistema em massa é simplesmente a soma das massas: m_{\text{madeira}} + m_{\text{chumbo}}.
  • Portanto, a condição de equilíbrio (sem escrever g porque cancela) é:
\rho_{\text{água}}\;V_{\text{submerso}} = m_{\text{madeira}} + m_{\text{chumbo}}.á
O que significa V_{\text{submerso}} aqui?
  • Foi dado que 80\% do volume total fica submerso. Então:
V_{\text{submerso}} = 0{,}8\,V_{\text{total}}.
  • E o volume total é a soma dos volumes dos dois materiais:
V_{\text{total}} = V_{\text{madeira}} + V_{\text{chumbo}}.
  • Cada volume relaciona-se à massa pela densidade:
V_{\text{madeira}} = \frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}},\qquad V_{\text{chumbo}} = \frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}.

Passo 3

Montando a equação substituindo tudo na condição de equilíbrio:
\rho_{\text{água}}\cdot 0{,}8\,(V_{\text{madeira}}+V_{\text{chumbo}})=m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}}.á
Agora substituímos V_{\text{madeira}} e V_{\text{chumbo}} pelas expressões em função das massas:
\rho_{\text{água}}\cdot 0{,}8\!\left(\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}+\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}\right) = m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}}.á
Esta é uma equação linear em m_{\text{chumbo}}. O objetivo agora é isolar m_{\text{chumbo}}.

Passo 4

Agora vamos inserir os valores numéricos e simplificar passo a passo.
Primeiro calcule o fator \rho_{\text{água}}\cdot 0{,}8á:
\rho_{\text{água}}\cdot 0{,}8 = 1000\cdot 0{,}8 = 800.á
Substituindo na equação:
800\!\left(\frac{4{,}2}{600}+\frac{m_{\text{chumbo}}}{11{,}4\times 10^{3}}\right)=4{,}2+m_{\text{chumbo}}.
Calcule \dfrac{4{,}2}{600}:
\frac{4{,}2}{600}=0{,}007.
Multiplicando 800 por 0{,}007:
800\cdot 0{,}007 = 5{,}6.
Agora calcule o coeficiente que multiplica m_{\text{chumbo}}:
800\cdot\frac{1}{11{,}4\times 10^{3}} = \frac{800}{11400} = \frac{4}{57}.
Portanto a equação fica
5{,}6 + \frac{4}{57}\,m_{\text{chumbo}} = 4{,}2 + m_{\text{chumbo}}.

Passo 5

Isolando m_{\text{chumbo}}. Subtraia 4{,}2 dos dois lados:
1{,}4 + \frac{4}{57}\,m_{\text{chumbo}} = m_{\text{chumbo}}.
Coloque os termos com m_{\text{chumbo}} no mesmo lado:
1{,}4 = m_{\text{chumbo}} - \frac{4}{57}\,m_{\text{chumbo}} = m_{\text{chumbo}}\left(1 - \frac{4}{57}\right).
Calcule 1 - \dfrac{4}{57} = \dfrac{57-4}{57} = \dfrac{53}{57}. Assim
1{,}4 = m_{\text{chumbo}}\cdot \frac{53}{57}.
Logo
m_{\text{chumbo}} = 1{,}4\cdot\frac{57}{53}.
Agora a conta final:
1{,}4\cdot\frac{57}{53}=\frac{79{,}8}{53}\approx 1{,}5047\\ \mathrm{kg}.
Arredondando razoavelmente (duas casas decimais) temos 1{,}50\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Pequena verificação de ordem de grandeza (pra ficar tranquilo):
  • A massa de chumbo encontrada é menor que a massa da madeira, o que faz sentido porque o chumbo é muito denso (pequeno volume). Além disso, com esse chumbo o volume submerso pedido (80%) é plausível.

Resposta

1{,}50\\ \mathrm{kg}

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