Um corpo está sujeito uma força constante direcionada ao longo de x. Deduza expressões para v_{x}(t), x(t) e v_{x}(x).

Passo 1

O enunciado diz: “Um corpo está sujeito a uma força constante direcionada ao longo de x. Deduza expressões para v_{x}(t), x(t) e v_{x}(x).”
Informações dadas (vou usar símbolos para deixar tudo genérico e útil na prova):
  • Força constante ao longo de x: F (constante).
  • Massa do corpo: m (constante).
  • Vamos considerar as condições iniciais genéricas:
    • velocidade inicial ao longo de x: v_x(0)=v_{0x},
    • posição inicial: x(0)=x_0.
O que o enunciado pede (três coisas):
  1. v_x(t) — velocidade ao longo do eixo x em função do tempo;
  2. x(t) — posição ao longo do eixo x em função do tempo;
  3. v_x(x) — velocidade v_x expressa em função da posição x (relação entre velocidade e posição).

Passo 2

Relacionando força, massa e aceleração: vou usar a lei fundamental que liga força e aceleração. A lei diz que a soma das forças na direção x é igual à massa vezes a aceleração nessa direção. Escrevendo isso:
\sum F_x = m a_x.
Aqui:
  • \sum F_x é a resultante das forças na direção x. Pelo enunciado essa resultante é a força constante F.
  • a_x é a aceleração na direção x.
    Como \sum F_x = F (constante), obtemos
a_x = \frac{F}{m}.
Essa aceleração é constante porque F e m são constantes. Lembre: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja a_x = \dfrac{dv_x}{dt}.

Passo 3

Agora vamos obter v_x(t) integrando a relação entre aceleração e velocidade. Começamos com a equação diferencial
\frac{dv_x}{dt}=a_x,
onde a_x é constante (igual a \dfrac{F}{m}). Integramos ambos os lados em relação a t. Escrevendo a integração desde 0 até t:
\int_{v_{0x}}^{v_x(t)} dv_x'=\int_{0}^{t} a_x\, dt'.
Como a_x é constante, a integral do lado direito é a_x t. A integral do lado esquerdo dá v_x(t)-v_{0x}. Logo
v_x(t)-v_{0x}=a_x t.
Isolando v_x(t),
v_x(t)=v_{0x}+a_x t.
Explicação didática curta: integrar \dfrac{dv}{dt}=a significa somar (acumular) as pequenas variações de velocidade ao longo do tempo; quando a aceleração é constante, a variação total é simplesmente a vezes o intervalo de tempo.

Passo 4

Agora achamos x(t) a partir da velocidade: definição de velocidade é derivada da posição,
\frac{dx}{dt}=v_x(t).
Substituímos a expressão que encontramos para v_x(t):
\frac{dx}{dt}=v_{0x}+a_x t.
Integramos em t de 0 a t, com x(0)=x_0:
\int_{x_0}^{x(t)} dx'=\int_{0}^{t} \bigl(v_{0x}+a_x t'\bigr)\, dt'.
Calculando a integral do lado direito:
  • \int_{0}^{t} v_{0x}\,dt' = v_{0x}\,t (pois v_{0x} é constante);
  • \int_{0}^{t} a_x t'\,dt' = a_x \cdot \dfrac{t^2}{2} (regra \int t' dt' = t'^2/2).
    Somando:
x(t)-x_0 = v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2.
Portanto
x(t)=x_0 + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_x t^2.
Didaticamente: essa fórmula é a conhecida equação do movimento uniformemente acelerado — posição inicial mais deslocamento devido à velocidade inicial mais deslocamento devido à aceleração.

Passo 5

Agora queremos v_x em função de x, isto é v_x(x), sem ter o tempo explícito. Para isso usamos a relação entre derivadas (regra da cadeia). Sabemos que
a_x=\frac{dv_x}{dt}.
Usando dt = \dfrac{dx}{v_x} (pois dx/dt=v_x), aplicamos a regra da cadeia escrevendo
\frac{dv_x}{dt} = \frac{dv_x}{dx}\cdot\frac{dx}{dt} = v_x\frac{dv_x}{dx}.
Como a_x é constante, substituímos:
v_x\frac{dv_x}{dx}=a_x.
Isso é uma equação diferencial que separa as variáveis. Reescrevemos e integramos em x do estado inicial x_0 a x e em v_x de v_{0x} a v_x:
\int_{v_{0x}}^{v_x} v'\, dv' = \int_{x_0}^{x} a_x\, dx'.
Calculando as integrais:
  • LHS: \int_{v_{0x}}^{v_x} v'\, dv' = \dfrac{1}{2}v_x^2 - \dfrac{1}{2}v_{0x}^2.
  • RHS: \int_{x_0}^{x} a_x\, dx' = a_x (x - x_0) (porque a_x é constante).
    Igualando:
\frac{1}{2}v_x^2 - \frac{1}{2}v_{0x}^2 = a_x (x - x_0).
Multiplicando por 2 e isolando v_x,
v_x^2 = v_{0x}^2 + 2 a_x (x - x_0).
Tomando raiz quadrada, obtemos
v_x(x)=\pm\sqrt{\,v_{0x}^2 + 2 a_x (x - x_0)\,}.
Observação sobre o sinal: o sinal escolhido deve ser consistente com o sentido do movimento. Se a velocidade inicial v_{0x} for positiva e a aceleração não fizer a velocidade inverter de sinal, então escolhemos o sinal +. Se o movimento estiver no sentido negativo, escolhemos o sinal -. Em provas geralmente se assume o sinal compatível com v_{0x}.

Passo 6

Opcional: substituir a_x por \dfrac{F}{m} para deixar as respostas em termos da força e da massa, já que o enunciado deu a força como dado. Assim \;a_x=\dfrac{F}{m}\; entra nas fórmulas anteriores. Não repito as fórmulas aqui (conforme pedido), elas aparecem organizadas a seguir na seção de respostas.

Resposta

v_x(t)=v_{0x}+\frac{F}{m}\,t
x(t)=x_0+v_{0x}\,t+\frac{1}{2}\frac{F}{m}\,t^2
v_x(x)=\pm\sqrt{\,v_{0x}^2+2\frac{F}{m}\,(x-x_0)\,}

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