Um corpo está sujeito uma força constante direcionada ao longo de
. Deduza expressões para
e
.
Passo 1
O enunciado diz: “Um corpo está sujeito a uma força constante direcionada ao longo de
. Deduza expressões para
e
.”
Informações dadas (vou usar símbolos para deixar tudo genérico e útil na prova):
- Força constante ao longo de
: (constante). - Massa do corpo:
(constante). - Vamos considerar as condições iniciais genéricas:
- velocidade inicial ao longo de
: , - posição inicial:
.
- velocidade inicial ao longo de
O que o enunciado pede (três coisas):
-
— velocidade ao longo do eixo em função do tempo; -
— posição ao longo do eixo em função do tempo; -
— velocidade expressa em função da posição (relação entre velocidade e posição).
Passo 2
Relacionando força, massa e aceleração: vou usar a lei fundamental que liga força e aceleração. A lei diz que a soma das forças na direção
é igual à massa vezes a aceleração nessa direção. Escrevendo isso:
Aqui:
-
é a resultante das forças na direção . Pelo enunciado essa resultante é a força constante . -
é a aceleração na direção .
Como(constante), obtemos
Essa aceleração é constante porque
e
são constantes. Lembre: aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja
.
Passo 3
Agora vamos obter
integrando a relação entre aceleração e velocidade. Começamos com a equação diferencial
onde
é constante (igual a
). Integramos ambos os lados em relação a
. Escrevendo a integração desde
até
:
Como
é constante, a integral do lado direito é
. A integral do lado esquerdo dá
. Logo
Isolando
,
Explicação didática curta: integrar
significa somar (acumular) as pequenas variações de velocidade ao longo do tempo; quando a aceleração é constante, a variação total é simplesmente
vezes o intervalo de tempo.
Passo 4
Agora achamos
a partir da velocidade: definição de velocidade é derivada da posição,
Substituímos a expressão que encontramos para
:
Integramos em
de
a
, com
:
Calculando a integral do lado direito:
-
(pois é constante); -
(regra ).
Somando:
Portanto
Didaticamente: essa fórmula é a conhecida equação do movimento uniformemente acelerado — posição inicial mais deslocamento devido à velocidade inicial mais deslocamento devido à aceleração.
Passo 5
Agora queremos
em função de
, isto é
, sem ter o tempo explícito. Para isso usamos a relação entre derivadas (regra da cadeia). Sabemos que
Usando
(pois
), aplicamos a regra da cadeia escrevendo
Como
é constante, substituímos:
Isso é uma equação diferencial que separa as variáveis. Reescrevemos e integramos em
do estado inicial
a
e em
de
a
:
Calculando as integrais:
- LHS:
. - RHS:
(porque é constante).
Igualando:
Multiplicando por
e isolando
,
Tomando raiz quadrada, obtemos
Observação sobre o sinal: o sinal escolhido deve ser consistente com o sentido do movimento. Se a velocidade inicial
for positiva e a aceleração não fizer a velocidade inverter de sinal, então escolhemos o sinal
. Se o movimento estiver no sentido negativo, escolhemos o sinal
. Em provas geralmente se assume o sinal compatível com
.
Passo 6
Opcional: substituir
por
para deixar as respostas em termos da força e da massa, já que o enunciado deu a força como dado. Assim
entra nas fórmulas anteriores. Não repito as fórmulas aqui (conforme pedido), elas aparecem organizadas a seguir na seção de respostas.