Uma “chumbada”, pequena esfera de chumbo, de volume
e densidade
, é usada para pescar. Essa chumbada é suspensa por um fio vertical cuja extremidade oposta à do peso está presa a uma esfera de cortiça (de densidade
) que está flutuando sobre a superficie de um lago. Desprezando os efeitos da linha, do anzol e da isca, determine qual deve ser o raio da cortiça para que ela flutue com metade de seu volume submersa. (5,0 pontos)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
Dados:
A cortiça é uma esfera cuja metade do volume deve ficar submersa (ou seja, fração submersa
).
O que se pede:
Determinar o raio da esfera de cortiça, ou seja, encontrar tal que a cortiça flutue com metade de seu volume submersa, considerando a chumbada presa por um fio vertical. (Desprezar efeitos da linha, anzol e isca.)
Determinar o raio da esfera de cortiça, ou seja, encontrar
Observação: não foi dada explicitamente a densidade da água; vamos usar o valor usual
Passo 2
Entendendo a física e montando a equação de equilíbrio (aula rápida).
- Princípio de Arquimedes: a força de empuxo sobre um corpo submerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado por esse corpo.
Em fórmulas: a força de empuxo é
onde
é a densidade da água,
a aceleração da gravidade e
o volume de água deslocado.
- No nosso sistema temos dois corpos: a cortiça (parcialmente submersa) e a chumbada (presumivelmente totalmente submersa, já que é mais pesada e fica pendurada). Cada um recebe seu empuxo. Em equilíbrio vertical, a soma dos empuxos deve equilibrar o peso total:
-
Explicando cada termo:
-
, onde é o volume da cortiça submerso. -
(assumindo chumbada totalmente submersa). -
, sendo o volume total da esfera de cortiça. -
.
-
-
Observação útil:
aparece em todos os termos; podemos cancelá-lo da equação de equilíbrio, o que simplifica os cálculos.
Passo 3
Aplicando a condição “metade do volume da cortiça submersa” e escrevendo a equação com as densidades.
- A condição dá
- A equação de equilíbrio (cancelando
) fica
- Substituindo
e :
- Agrupando os termos em
e em :
- Calculando as diferenças numéricas:
- Logo
- Substituindo
:
(para manter clareza:
e dividindo por
obtemos
.)
Passo 4
Relacionando volume da esfera com o raio e isolando
.
- Fórmula do volume de uma esfera:
onde
é o raio que queremos encontrar.
- Isolando
:
- Substituindo
:
Passo 5
Cálculo numérico de
(passo a passo de contas que dá para fazer sem calculadora avançada).
- Primeiro calcule o numerador e divisor:
Logo
- Usando
:
- Agora extraímos a raiz cúbica. Procuramos
tal que .
Testando valores próximos:, . Assim, fica entre e . Interpolando, obtemos
Pequena motivação: você pode arredondar para duas casas decimais sem perda prática na prova; o valor
é suficiente e consistente com os cálculos acima.