Uma “chumbada”, pequena esfera de chumbo, de volume 0,53 \mathrm{~cm}^{3} e densidade 11,4 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, é usada para pescar. Essa chumbada é suspensa por um fio vertical cuja extremidade oposta à do peso está presa a uma esfera de cortiça (de densidade 0,2 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} ) que está flutuando sobre a superficie de um lago. Desprezando os efeitos da linha, do anzol e da isca, determine qual deve ser o raio da cortiça para que ela flutue com metade de seu volume submersa. (5,0 pontos)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa específica.
Dados:
\text{volume da chumbada }V_{\text{chumbo}}=0,53\\ \mathrm{cm^{3}}
\text{densidade do chumbo }\rho_{\text{chumbo}}=11,4\\ \mathrm{g/cm^{3}}
\text{densidade da cortiça }\rho_{\text{cortiça}}=0,2\\ \mathrm{g/cm^{3}}çç
A cortiça é uma esfera cuja metade do volume deve ficar submersa (ou seja, fração submersa =0,5).
O que se pede:
Determinar o raio da esfera de cortiça, ou seja, encontrar r tal que a cortiça flutue com metade de seu volume submersa, considerando a chumbada presa por um fio vertical. (Desprezar efeitos da linha, anzol e isca.)
Observação: não foi dada explicitamente a densidade da água; vamos usar o valor usual
\rho_{\text{água}}=1,0\\ \mathrm{g/cm^{3}}.á

Passo 2

Entendendo a física e montando a equação de equilíbrio (aula rápida).
  • Princípio de Arquimedes: a força de empuxo sobre um corpo submerso é igual ao peso do volume de fluido deslocado por esse corpo.
    Em fórmulas: a força de empuxo é
E=\rho_{\text{água}}\;g\;V_{\text{deslocado}},á
onde \rho_{\text{água}}á é a densidade da água, g a aceleração da gravidade e V_{\text{deslocado}} o volume de água deslocado.
  • No nosso sistema temos dois corpos: a cortiça (parcialmente submersa) e a chumbada (presumivelmente totalmente submersa, já que é mais pesada e fica pendurada). Cada um recebe seu empuxo. Em equilíbrio vertical, a soma dos empuxos deve equilibrar o peso total:
E_{\text{cortiça}}+E_{\text{chumbo}}=W_{\text{cortiça}}+W_{\text{chumbo}}.çç
  • Explicando cada termo:
    • E_{\text{cortiça}}=\rho_{\text{água}}\,g\,V_{\text{sub,cortiça}}çáç, onde V_{\text{sub,cortiça}}ç é o volume da cortiça submerso.
    • E_{\text{chumbo}}=\rho_{\text{água}}\,g\,V_{\text{chumbo}}á (assumindo chumbada totalmente submersa).
    • W_{\text{cortiça}}=\rho_{\text{cortiça}}\,g\,V_{\text{cortiça}}ççç, sendo V_{\text{cortiça}}ç o volume total da esfera de cortiça.
    • W_{\text{chumbo}}=\rho_{\text{chumbo}}\,g\,V_{\text{chumbo}}.
  • Observação útil: g aparece em todos os termos; podemos cancelá-lo da equação de equilíbrio, o que simplifica os cálculos.

Passo 3

Aplicando a condição “metade do volume da cortiça submersa” e escrevendo a equação com as densidades.
  • A condição dá
V_{\text{sub,cortiça}=}=0,5\,V_{\text{cortiça}}.çç
  • A equação de equilíbrio (cancelando g) fica
\rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub,cortiça}}+\rho_{\text{água}}\,V_{\text{chumbo}}=\rho_{\text{cortiça}}\,V_{\text{cortiça}}+\rho_{\text{chumbo}}\,V_{\text{chumbo}}.áçáçç
  • Substituindo V_{\text{sub,cortiça}}=0,5\,V_{\text{cortiça}}çç e \rho_{\text{água}}=1,0á:
1,0\cdot(0,5\,V_{\text{cortiça}})+1,0\cdot V_{\text{chumbo}}=0,2\,V_{\text{cortiça}}+11,4\,V_{\text{chumbo}}.çç
  • Agrupando os termos em V_{\text{cortiça}}ç e em V_{\text{chumbo}}:
(0,5-0,2)\,V_{\text{cortiça}}=(11,4-1,0)\,V_{\text{chumbo}}.ç
  • Calculando as diferenças numéricas:
0,3\,V_{\text{cortiça}}=10,4\,V_{\text{chumbo}}.ç
  • Logo
V_{\text{cortiça}}=\frac{10,4}{0,3}\,V_{\text{chumbo}}=\frac{104}{3}\,V_{\text{chumbo}}.ç
  • Substituindo V_{\text{chumbo}}=0,53\\ \mathrm{cm^{3}}:
V_{\text{cortiça}}=\frac{104}{3}\times 0,53\\ \mathrm{cm^{3}}=\frac{55,12}{3}\\ \mathrm{cm^{3}}=18,373\ldots\\ \mathrm{cm^{3}}.ç
(para manter clareza: 104\times 0,53=55,12 e dividindo por 3 obtemos 18,373\ldots.)

Passo 4

Relacionando volume da esfera com o raio e isolando r.
  • Fórmula do volume de uma esfera:
V_{\text{cortiça}}=\frac{4}{3}\pi r^{3},ç
onde r é o raio que queremos encontrar.
  • Isolando r^{3}:
r^{3}=\frac{3\,V_{\text{cortiça}}}{4\pi}.ç
  • Substituindo V_{\text{cortiça}}=18,373\ldots\\ \mathrm{cm^{3}}ç:
r^{3}=\frac{3\times 18,373\ldots}{4\pi}=\frac{55,12}{4\pi}.

Passo 5

Cálculo numérico de r (passo a passo de contas que dá para fazer sem calculadora avançada).
  • Primeiro calcule o numerador e divisor:
\frac{55,12}{4}=13,78.
Logo
r^{3}=\frac{13,78}{\pi}.
  • Usando \pi\approx 3,1416:
r^{3}\approx\frac{13,78}{3,1416}\approx 4,387\\ (\mathrm{cm^{3}}).
  • Agora extraímos a raiz cúbica. Procuramos r tal que r^{3}\approx 4,387.
    Testando valores próximos: 1,63^{3}\approx 4,33, 1,64^{3}\approx 4,41. Assim, r fica entre 1,63 e 1,64\\ \mathrm{cm}. Interpolando, obtemos
r\approx 1,64\\ \mathrm{cm}.
Pequena motivação: você pode arredondar para duas casas decimais sem perda prática na prova; o valor 1,64\\ \mathrm{cm} é suficiente e consistente com os cálculos acima.

Resposta

1,64\\ \mathrm{cm}

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