Um bloco de madeira tem uma massa de
e densidade de
. Ele deve ser carregado com chumbo (de densidade
) de modo que flutue em água com
de seu volume submerso.
Que massa de chumbo é necessária se ele for fixado na base do bloco de madeira?
Que massa de chumbo é necessária se ele for fixado na base do bloco de madeira?
Passo 1
Dados fornecidos e o que se pede:\n
Massa do bloco de madeira: .\n
Densidade da madeira: .\n
Densidade do chumbo: (valor dado no enunciado).\n
Densidade da água (assumo água pura): .\n
Condição de flutuação pedida: do volume total do conjunto (madeira + chumbo) deve estar submerso, ou seja,
.\n
Pergunta: encontrar a massa do chumbo necessária quando o chumbo for fixado na base do bloco.
Massa do bloco de madeira:
Densidade da madeira:
Densidade do chumbo:
Densidade da água (assumo água pura):
Condição de flutuação pedida:
Pergunta: encontrar a massa do chumbo
Passo 2
Princípio físico que usamos (explicação didática e passo a passo):\n
Quando um corpo flutua estático sobre a água, o empuxo (força de Arquímedes) é igual ao peso do sistema. O empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado. Em fórmula:\n
Quando um corpo flutua estático sobre a água, o empuxo (força de Arquímedes) é igual ao peso do sistema. O empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado. Em fórmula:\n
e o peso do conjunto é\n
Como o equilíbrio exige empuxo = peso, temos\n
O
aparece dos dois lados e cancela, então a equação de equilíbrio não depende de
:\n
Observação: o fato do chumbo estar fixado na base garante estabilidade, mas não altera a condição de empuxo = peso — isso depende somente da massa total e do volume submerso.
Passo 3
Expressar volumes em função das massas e densidades (porque a densidade é definida como massa por volume):\n
Volume da madeira:\n
Volume da madeira:\n
Volume do chumbo:\n
Volume total:\n
Volume submerso exigido pelo enunciado:\n
Passo 4
Substituir
na equação de equilíbrio e montar a equação para
:\n
Agora vamos isolar
. Primeiro expandimos o lado direito:\n
Colocamos os termos com
no mesmo lado:\n
Fatorando
à esquerda:\n
Finalmente, isolamos
:\n
Passo 5
Substituir os valores numéricos e calcular (vou mostrar as contas passo a passo):\n
Dados numéricos (todos em e
):\n
Dados numéricos (todos em
Calcular o fator do numerador:\n
Logo\n
Multiplicando pelo
:\n
Agora o denominador:\n
Logo\n
Portanto\n
Arredondando com duas casas significativas (suficiente para um problema experimental/universitário):\n
Passo 6
Breve interpretação e checagem de consistência:\n
O resultado diz que precisamos de cerca de de chumbo. Isso é razoável: a madeira tem
e densidade menor que a água, então precisa de algum peso adicional para que
do volume total fique submerso; como o chumbo é muito denso, a massa adicionada não precisa ser enorme para alterar o volume total de forma apropriada. Está dentro de uma ordem de grandeza plausível.\n
Força final de encorajamento: você conseguiu! Esses problemas seguem sempre a mesma ideia — empuxo igual ao peso — e depois é só trocar massa por volume usando densidades.
O resultado diz que precisamos de cerca de
Força final de encorajamento: você conseguiu! Esses problemas seguem sempre a mesma ideia — empuxo igual ao peso — e depois é só trocar massa por volume usando densidades.