Um bloco de madeira tem uma massa de 4,2 \mathrm{~kg} e densidade de 600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}. Ele deve ser carregado com chumbo (de densidade 11,4 \times 10^{3} \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ) de modo que flutue em água com 80 \% de seu volume submerso.
Que massa de chumbo é necessária se ele for fixado na base do bloco de madeira?

Passo 1

Dados fornecidos e o que se pede:\n
Massa do bloco de madeira: m_{\text{madeira}}=4,2\\ \mathrm{kg}.\n
Densidade da madeira: \rho_{\text{madeira}}=600\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}.\n
Densidade do chumbo: \rho_{\text{chumbo}}=11,4\times10^{3}\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3} (valor dado no enunciado).\n
Densidade da água (assumo água pura): \rho_{\text{água}}=1000\\ \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}á.\n
Condição de flutuação pedida: 80\% do volume total do conjunto (madeira + chumbo) deve estar submerso, ou seja, V_{\text{sub}}=0,8\,V_{\text{total}}.\n
Pergunta: encontrar a massa do chumbo m_{\text{chumbo}} necessária quando o chumbo for fixado na base do bloco.

Passo 2

Princípio físico que usamos (explicação didática e passo a passo):\n
Quando um corpo flutua estático sobre a água, o empuxo (força de Arquímedes) é igual ao peso do sistema. O empuxo é igual ao peso do volume de água deslocado. Em fórmula:\n
\text{empuxo} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,gá\n
e o peso do conjunto é\n
\text{peso} = (m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}})\,g.\n
Como o equilíbrio exige empuxo = peso, temos\n
(m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}})\,g = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}\,g.á\n
O g aparece dos dois lados e cancela, então a equação de equilíbrio não depende de g:\n
m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}} = \rho_{\text{água}}\,V_{\text{sub}}.á\n
Observação: o fato do chumbo estar fixado na base garante estabilidade, mas não altera a condição de empuxo = peso — isso depende somente da massa total e do volume submerso.

Passo 3

Expressar volumes em função das massas e densidades (porque a densidade é definida como massa por volume):\n
Volume da madeira:\n
V_{\text{madeira}}=\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}.\n
Volume do chumbo:\n
V_{\text{chumbo}}=\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}.\n
Volume total:\n
V_{\text{total}}=V_{\text{madeira}}+V_{\text{chumbo}}=\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}+\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}.\n
Volume submerso exigido pelo enunciado:\n
V_{\text{sub}}=0,8\,V_{\text{total}}=0,8\left(\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}+\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}\right).

Passo 4

Substituir V_{\text{sub}} na equação de equilíbrio e montar a equação para m_{\text{chumbo}}:\n
m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}}=\rho_{\text{água}}\cdot 0,8\left(\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}+\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}\right).á\n
Agora vamos isolar m_{\text{chumbo}}. Primeiro expandimos o lado direito:\n
m_{\text{madeira}}+m_{\text{chumbo}}=0,8\,\rho_{\text{água}}\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}+0,8\,\rho_{\text{água}}\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}.áá\n
Colocamos os termos com m_{\text{chumbo}} no mesmo lado:\n
m_{\text{chumbo}}-0,8\,\rho_{\text{água}}\frac{m_{\text{chumbo}}}{\rho_{\text{chumbo}}}=0,8\,\rho_{\text{água}}\frac{m_{\text{madeira}}}{\rho_{\text{madeira}}}-m_{\text{madeira}}.áá\n
Fatorando m_{\text{chumbo}} à esquerda:\n
m_{\text{chumbo}}\left(1-0,8\,\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{chumbo}}}\right)=m_{\text{madeira}}\left(0,8\,\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{madeira}}}-1\right).áá\n
Finalmente, isolamos m_{\text{chumbo}}:\n
m_{\text{chumbo}}=\frac{m_{\text{madeira}}\left(0,8\,\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{madeira}}}-1\right)}{1-0,8\,\dfrac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{chumbo}}}}.áá

Passo 5

Substituir os valores numéricos e calcular (vou mostrar as contas passo a passo):\n
Dados numéricos (todos em \mathrm{kg} e \mathrm{kg}/\mathrm{m}^{3}):\n
m_{\text{madeira}}=4,2,\quad \rho_{\text{água}}=1000,\quad \rho_{\text{madeira}}=600,\quad \rho_{\text{chumbo}}=11,4\times10^{3}.á\n
Calcular o fator do numerador:\n
0,8\cdot\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{madeira}}}=0,8\cdot\frac{1000}{600}=0,8\cdot 1,666\overline{6}=1,333\overline{3}.á\n
Logo\n
0,8\cdot\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{madeira}}}-1=1,333\overline{3}-1=0,333\overline{3}.á\n
Multiplicando pelo m_{\text{madeira}}:\n
m_{\text{madeira}}\left(0,8\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{madeira}}}-1\right)=4,2\cdot 0,333\overline{3}=1,4.á\n
Agora o denominador:\n
0,8\cdot\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{chumbo}}}=0,8\cdot\frac{1000}{11\,400}=0,8\cdot 0,087719298\ldots=0,070175438\ldotsá\n
Logo\n
1-0,8\frac{\rho_{\text{água}}}{\rho_{\text{chumbo}}}=1-0,070175438\ldots=0,929824562\ldotsá\n
Portanto\n
m_{\text{chumbo}}=\frac{1,4}{0,929824562\ldots}=1,505\ldots\n
Arredondando com duas casas significativas (suficiente para um problema experimental/universitário):\n
m_{\text{chumbo}}\approx 1,51\\ \mathrm{kg}.

Passo 6

Breve interpretação e checagem de consistência:\n
O resultado diz que precisamos de cerca de 1,51\\ \mathrm{kg} de chumbo. Isso é razoável: a madeira tem 4,2\\ \mathrm{kg} e densidade menor que a água, então precisa de algum peso adicional para que 80\% do volume total fique submerso; como o chumbo é muito denso, a massa adicionada não precisa ser enorme para alterar o volume total de forma apropriada. Está dentro de uma ordem de grandeza plausível.\n
Força final de encorajamento: você conseguiu! Esses problemas seguem sempre a mesma ideia — empuxo igual ao peso — e depois é só trocar massa por volume usando densidades.

Resposta

1,51\\ \mathrm{kg}

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