- Um bloco de mancal de ferro fundido deve ser montado em uma viga de aço por meio de parafuso com porca. Serão utilizados 4 parafusos M20 ISO 8.8 de roscas grossas e serão utilizadas arruelas de aço de espessura de
, sob a cabeça do parafuso e a porca. A espessura do mancal e da viga são de 20 mm cada. O módulo de elasticidade longitudinal do mancal é de 135 GPa . Determine.
b. O fator de carga sobre cada parafuso, sendo que a carga externa é de 60 kN .
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
- Número de parafusos:
(quatro parafusos M20). - Tipo/parâmetro dos parafusos: M20 ISO 8.8, rosca grossa.
- Espessura das arruelas:
(sob a cabeça e sob a porca → duas arruelas). - Espessura do mancal:
. - Espessura da viga:
. - Módulo de elasticidade longitudinal do mancal (ferro fundido):
. - Carga externa total aplicada ao conjunto:
.
O que é pedido na parte (b):
- “O fator de carga sobre cada parafuso, sendo que a carga externa é de
.”
Vou interpretar isso como o fator adimensionaltal que a variação de força em cada parafuso (devido à carga externa) vale e também apresentarei o valor numérico da (carga adicional que cada parafuso passa a suportar).
Observações/assunções que vou usar (comunicação clara de hipóteses):
- Módulo de elasticidade do aço do parafuso e das arruelas:
(valor padrão). - Diâmetro do parafuso
e passo (rosca grossa). A área resistente à tração (tensile stress area) será calculada pela fórmula ISO. - Para a área efetiva de compressão do conjunto (área que “aperta” sob cada parafuso) assumirei um raio externo típico
e diâmetro do furo (folga de furo), o que é uma hipótese comum em exercícios didáticos. Vou explicitar quando essa hipótese entra. - Modelo elástico linear clássico para junta parafusada: cada parafuso tem rigidez axial
; as partes apertadas sob o parafuso têm uma rigidez (da qual depende quanto da carga externa vai para o parafuso). O fator procurado é .
Passo 2
Explicando a ideia física e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático e simples)
Quando aplicamos a força externa
ao conjunto, a variação de força nos parafusos não será simplesmente
porque parte da deformação fica nas próprias peças apertadas (mancal + viga + arruelas) e parte na extensão do parafuso. Modelando em termos de molas lineares:
- cada parafuso é uma mola com rigidez axial
(N/mm); - a região comprimida do conjunto ao redor do parafuso também se comporta como uma mola com rigidez
(N/mm), que representa a resistência das peças à variação de espessura sob compressão.
Para um parafuso, a parcela da carga externa que entra no parafuso (variação
) é dada por
Definimos o fator de carga por parafuso como
Portanto, preciso calcular
e
(para um parafuso) e então obter
e
.
Vou agora calcular cada rigidez.
Passo 3
Cálculo da área resistente à tração do parafuso (área de tensão da rosca)
Para rosca ISO, a área resistente (tensile stress area) pode ser aproximada por
onde
é o diâmetro nominal e
o passo. Substituindo
e
:
Logo
Comentário: este
é a seção efetiva que vai sofrer alongamento do parafuso quando carregado à tração.
Passo 4
Cálculo da rigidez axial do parafuso
A rigidez axial de um elemento homogêneo é
onde
é o módulo de elasticidade,
a área e
o comprimento que se alonga.
No parafuso, o comprimento que efetivamente se alonga sob variação de carga é a chamada “grip length”, isto é, a espessura total do conjunto entre a superfície sob a cabeça e a superfície sob a porca. Aqui:
Usando
e
,
Fazendo as contas:
Interpretação: essa é a “rigidez” do parafuso à tração; números maiores significam mola mais dura.
Passo 5
Cálculo da rigidez das peças comprimidas
(modelo por anel efetivo)
Para estimar a rigidez do material comprimido sob cada parafuso, usamos a abordagem prática de associar a cada parafuso uma área efetiva de compressão em forma de anel entre um diâmetro interno
(furo) e um diâmetro externo
(alcance da cone de compressão). Uma escolha comum para exercícios é
. Adotei:
A área efetiva por parafuso é então
Agora, a deformação compressiva do conjunto sob a região efetiva distribui-se entre as camadas de materiais em série (mancal, viga, arruelas). A rigidez resultante por parafuso é
Substituindo
,
,
,
e
:
Somando os termos:
Portanto
Comentário:
é bem maior que
no cálculo numérico; isso significa que as peças são relativamente rígidas (pouca variação de espessura) comparadas ao alongamento do próprio parafuso.]
Passo 6
Cálculo do fator
e da carga adicional por parafuso
Com os valores obtidos:
O fator é
A carga externa por parafuso (antes de multiplicar por
) seria
. Portanto
Interpretação prática: para a carga total de
, cada parafuso recebe uma variação adicional de força (além do pré-tensionamento, se houver) de cerca de
. O fator
é a fração que relaciona a parte que vai ao parafuso em relação à divisão simples
.
Passo 7
Observações finais, limitações e incentivo
- Resultados aproximados porque usei hipóteses padrão:
, , . Se o enunciado der valores diferentes (ou se as cones de compressão dos parafusos se sobrepõem), os números mudam um pouco. - A ideia didática importante para a prova: calcular a rigidez do parafuso (axial) e a rigidez das peças comprimidas; o fator de carga é sempre
e a variação por parafuso é . Decore esse raciocínio e pratique com outros exemplos (mudar , espessuras, materiais) para fixar. - Força extra por parafuso de ~1,64 kN é relativamente pequena versus
kN porque as peças são rígidas (alto ) — esse é o tipo de conclusão sensata que vale comentar na prova.