1. Um bloco de mancal de ferro fundido deve ser montado em uma viga de aço por meio de parafuso com porca. Serão utilizados 4 parafusos M20 ISO 8.8 de roscas grossas e serão utilizadas arruelas de aço de espessura de 3,4 \mathrm{~mm}, sob a cabeça do parafuso e a porca. A espessura do mancal e da viga são de 20 mm cada. O módulo de elasticidade longitudinal do mancal é de 135 GPa . Determine.
b. O fator de carga sobre cada parafuso, sendo que a carga externa é de 60 kN .

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede (peguei estes números do enunciado):
  • Número de parafusos: n=4 (quatro parafusos M20).
  • Tipo/parâmetro dos parafusos: M20 ISO 8.8, rosca grossa.
  • Espessura das arruelas: t_{\rm arr}=3{,}4\\ \text{mm} (sob a cabeça e sob a porca → duas arruelas).
  • Espessura do mancal: t_{\rm mancal}=20\\ \text{mm}.
  • Espessura da viga: t_{\rm viga}=20\\ \text{mm}.
  • Módulo de elasticidade longitudinal do mancal (ferro fundido): E_{\rm mancal}=135\\ \text{GPa}=135000\\ \text{N/mm}^2.
  • Carga externa total aplicada ao conjunto: F=60\\ \text{kN}=60000\\ \text{N}.
O que é pedido na parte (b):
  • “O fator de carga sobre cada parafuso, sendo que a carga externa é de 60\\ \text{kN}.”
    Vou interpretar isso como o fator adimensional \varphi tal que a variação de força em cada parafuso (devido à carga externa) vale \Delta F_{\rm parafuso}=\varphi\cdot\frac{F}{n},e também apresentarei o valor numérico da \Delta F_{\rm parafuso} (carga adicional que cada parafuso passa a suportar).
Observações/assunções que vou usar (comunicação clara de hipóteses):
  • Módulo de elasticidade do aço do parafuso e das arruelas: E_{\rm aço}=210\\ \text{GPa}=210000\\ \text{N/mm}^2ç (valor padrão).
  • Diâmetro do parafuso d=20\\ \text{mm} e passo p=2{,}5\\ \text{mm} (rosca grossa). A área resistente à tração (tensile stress area) será calculada pela fórmula ISO.
  • Para a área efetiva de compressão do conjunto (área que “aperta” sob cada parafuso) assumirei um raio externo típico D_o=3d=60\\ \text{mm} e diâmetro do furo D_i=22\\ \text{mm} (folga de furo), o que é uma hipótese comum em exercícios didáticos. Vou explicitar quando essa hipótese entra.
  • Modelo elástico linear clássico para junta parafusada: cada parafuso tem rigidez axial k_b; as partes apertadas sob o parafuso têm uma rigidez k_m (da qual depende quanto da carga externa vai para o parafuso). O fator procurado é \varphi=\dfrac{k_b}{k_b+k_m}.

Passo 2

Explicando a ideia física e a fórmula que vamos usar (passo-a-passo didático e simples)
Quando aplicamos a força externa F ao conjunto, a variação de força nos parafusos não será simplesmente F/n porque parte da deformação fica nas próprias peças apertadas (mancal + viga + arruelas) e parte na extensão do parafuso. Modelando em termos de molas lineares:
  • cada parafuso é uma mola com rigidez axial k_b (N/mm);
  • a região comprimida do conjunto ao redor do parafuso também se comporta como uma mola com rigidez k_m (N/mm), que representa a resistência das peças à variação de espessura sob compressão.
Para um parafuso, a parcela da carga externa que entra no parafuso (variação \Delta F_{\rm parafuso}) é dada por
\Delta F_{\rm parafuso}=\frac{k_b}{k_b+k_m}\cdot\frac{F}{n}.
Definimos o fator de carga por parafuso como
\varphi=\frac{k_b}{k_b+k_m}.
Portanto, preciso calcular k_b e k_m (para um parafuso) e então obter \varphi e \Delta F_{\rm parafuso}.
Vou agora calcular cada rigidez.

Passo 3

Cálculo da área resistente à tração do parafuso (área de tensão da rosca)
Para rosca ISO, a área resistente (tensile stress area) pode ser aproximada por
A_t=\frac{\pi}{4}\bigl(d-0{,}9743\,p\bigr)^2,
onde d é o diâmetro nominal e p o passo. Substituindo d=20\\ \text{mm} e p=2{,}5\\ \text{mm}:
d-0{,}9743\,p = 20 - 0{,}9743\cdot 2{,}5 = 20 - 2{,}43575 = 17{,}56425\\ \text{mm}.
Logo
A_t=\frac{\pi}{4}\,(17{,}56425)^2 \approx 242{,}4\\ \text{mm}^2.
Comentário: este A_t é a seção efetiva que vai sofrer alongamento do parafuso quando carregado à tração.

Passo 4

Cálculo da rigidez axial do parafuso k_b
A rigidez axial de um elemento homogêneo é
k=\frac{E A}{L},
onde E é o módulo de elasticidade, A a área e L o comprimento que se alonga.
No parafuso, o comprimento que efetivamente se alonga sob variação de carga é a chamada “grip length”, isto é, a espessura total do conjunto entre a superfície sob a cabeça e a superfície sob a porca. Aqui:
L_b = t_{\rm mancal}+t_{\rm viga}+2\,t_{\rm arr} = 20 + 20 + 2(3{,}4)=46{,}8\\ \text{mm}.
Usando E_{\rm aço}=210000\\ \text{N/mm}^2ç e A_t=242{,}4\\ \text{mm}^2,
k_b=\frac{E_{\rm aço}\,A_t}{L_b} =\frac{210000\cdot 242{,}4}{46{,}8}\\ \text{N/mm}.ç
Fazendo as contas:
k_b \approx 1{,}088\times10^{6}\\ \text{N/mm}.
Interpretação: essa é a “rigidez” do parafuso à tração; números maiores significam mola mais dura.

Passo 5

Cálculo da rigidez das peças comprimidas k_m (modelo por anel efetivo)
Para estimar a rigidez do material comprimido sob cada parafuso, usamos a abordagem prática de associar a cada parafuso uma área efetiva de compressão em forma de anel entre um diâmetro interno D_i (furo) e um diâmetro externo D_o (alcance da cone de compressão). Uma escolha comum para exercícios é D_o\approx 3d. Adotei:
D_o=3d=60\\ \text{mm},\qquad D_i=22\\ \text{mm}\\ (\text{diâmetro de furo com folga}).â
A área efetiva por parafuso é então
A_{\rm eff}=\frac{\pi}{4}\bigl(D_o^2-D_i^2\bigr) =\frac{\pi}{4}(60^2-22^2)\approx 2448\\ \text{mm}^2.
Agora, a deformação compressiva do conjunto sob a região efetiva distribui-se entre as camadas de materiais em série (mancal, viga, arruelas). A rigidez resultante por parafuso é
k_m=\frac{A_{\rm eff}}{\dfrac{t_{\rm mancal}}{E_{\rm mancal}}+\dfrac{t_{\rm viga}}{E_{\rm aço}}+\dfrac{2\,t_{\rm arr}}{E_{\rm aço}} }.çç
Substituindo t_{\rm mancal}=20\\ \text{mm}, t_{\rm viga}=20\\ \text{mm}, 2t_{\rm arr}=6{,}8\\ \text{mm},
E_{\rm mancal}=135000\\ \text{N/mm}^2 e E_{\rm aço}=210000\\ \text{N/mm}^2ç:
\begin{aligned} \dfrac{t_{\rm mancal}}{E_{\rm mancal}} &= \dfrac{20}{135000}\\ \text{mm}^2/\text{N}\approx 0{,}00014815,\\[4pt] \dfrac{t_{\rm viga}}{E_{\rm aço}} &= \dfrac{20}{210000}\approx 0{,}000095238,\\[4pt] \dfrac{2t_{\rm arr}}{E_{\rm aço}} &= \dfrac{6{,}8}{210000}\approx 0{,}000032381. \end{aligned}çç
Somando os termos:
\sum \frac{t_i}{E_i}\approx 0{,}00027577\\ \text{mm}^2/\text{N}.
Portanto
k_m=\frac{2448}{0{,}00027577}\\ \text{N/mm}\approx 8{,}87\times10^{6}\\ \text{N/mm}.
Comentário: k_m é bem maior que k_b no cálculo numérico; isso significa que as peças são relativamente rígidas (pouca variação de espessura) comparadas ao alongamento do próprio parafuso.]

Passo 6

Cálculo do fator \varphi e da carga adicional por parafuso \Delta F_{\rm parafuso}
Com os valores obtidos:
k_b\approx 1{,}088\times10^{6}\\ \text{N/mm},\qquad k_m\approx 8{,}87\times10^{6}\\ \text{N/mm}.
O fator é
\varphi=\frac{k_b}{k_b+k_m} =\frac{1{,}088\times10^{6}}{1{,}088\times10^{6}+8{,}87\times10^{6}} \approx 0{,}1092.
A carga externa por parafuso (antes de multiplicar por \varphi) seria F/n=60000/4=15000\\ \text{N}. Portanto
\Delta F_{\rm parafuso}=\varphi\cdot\frac{F}{n}\approx 0{,}1092\cdot 15000\\ \text{N}\approx 1638\\ \text{N}\approx 1{,}64\\ \text{kN}.
Interpretação prática: para a carga total de 60\\ \text{kN}, cada parafuso recebe uma variação adicional de força (além do pré-tensionamento, se houver) de cerca de 1{,}64\\ \text{kN}. O fator \varphi\approx0{,}109 é a fração que relaciona a parte que vai ao parafuso em relação à divisão simples F/n.

Passo 7

Observações finais, limitações e incentivo
  • Resultados aproximados porque usei hipóteses padrão: D_o=3d, D_i=22\\ \text{mm}, E_{\rm aço}=210\\ \text{GPa}ç. Se o enunciado der valores diferentes (ou se as cones de compressão dos parafusos se sobrepõem), os números mudam um pouco.
  • A ideia didática importante para a prova: calcular a rigidez do parafuso (axial) e a rigidez das peças comprimidas; o fator de carga é sempre \varphi = k_b/(k_b+k_m) e a variação por parafuso é \varphi\,(F/n). Decore esse raciocínio e pratique com outros exemplos (mudar L_b, espessuras, materiais) para fixar.
  • Força extra por parafuso de ~1,64 kN é relativamente pequena versus F/n=15 kN porque as peças são rígidas (alto k_m) — esse é o tipo de conclusão sensata que vale comentar na prova.

Resposta

\varphi \approx 0{,}109 (adimensional)
\Delta F_{\rm parafuso} \approx 1{,}64\\ \text{kN}

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