1. Um bloco de mancal de ferro fundido deve ser montado em uma viga de aço por meio de parafuso com porca. Serão utilizados 4 parafusos M20 ISO 8.8 de roscas grossas e serão utilizadas arruelas de aço de espessura de 3,4 \mathrm{~mm}, sob a cabeça do parafuso e a porca. A espessura do mancal e da viga são de 20 mm cada. O módulo de elasticidade longitudinal do mancal é de 135 GPa . Determine.
a. O torque de montagem necessário, considerando os fixadores lubrificados durante a montagem e a junção permanente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede (sem resolver ainda).
  • Dado: quatro parafusos \text{M20} ISO classe 8{,}8 (rosca grossa).
  • Dado: arruelas de aço com espessura 3,4\\ \mathrm{mm} sob a cabeça e sob a porca.
  • Dado: espessura do mancal =20\\ \mathrm{mm} e da viga =20\\ \mathrm{mm}.
  • Dado: módulo de elasticidade longitudinal do mancal E_{\text{mancal}}=135\\ \mathrm{GPa}.
  • Pedido (a): determinar o torque de montagem necessário, considerando os fixadores lubrificados durante a montagem e a junção permanente.
Observações sobre o pedido: normalmente o “torque de montagem” é o torque aplicado a cada parafuso durante aperto. Vou calcular o torque por parafuso. O enunciado não deu coeficientes de atrito nem explicitou a porcentagem de pré-carga desejada; vou adotar práticas usuais de projeto para uma junção permanente com parafuso classe 8{,}8 (vou explicar/justificar essa escolha nos passos seguintes).

Passo 2

Explicando o que vamos fazer e por que (ideia física e escolha do método).
  • O objetivo prático é escolher uma pré-carga F_i (força axial no parafuso após aperto) apropriada para uma junção permanente e transformar essa pré-carga em torque de montagem T.
  • Métodos possíveis: medição direta de alongamento, método do torque, uso de tabelas, etc. O método mais simples e usual em exercícios e em prática é usar a relação empírica
    T = K\,d\,F_i,
    onde:
    • T é o torque de montagem (N·m),
    • K é o coeficiente de torque (sem dimensão) que engloba efeitos de atrito em rosca e sob cabeça/porca,
    • d é o diâmetro nominal do parafuso (m),
    • F_i é a pré-carga desejada no parafuso (N).
  • Justificativa das escolhas práticas que vou usar:
    • Para parafusos lubrificados costuma-se usar K na faixa de 0{,}12 a 0{,}16. Vou adotar K=0{,}14 como valor representativo para fixadores lubrificados (é um valor padrão/aceitável para cálculo preliminar).
    • Para junção permanente com parafuso de alta resistência (classe 8{,}8) uma regra prática é escolher a pré-carga na faixa de 0{,}6 a 0{,}8 da resistência nominal (ou do que se chama “tensão admissível” do parafuso). Vou adotar F_i=0{,}7\;R_m A_s (70% da resistência última nominal R_m multiplicada pela área resistente A_s). Essa escolha é comum para “junção permanente” — fornece alta pré-carga evitando afrouxamento sem levar o parafuso ao escoamento.
Vou documentar e calcular cada passo (área resistente, F_i, e depois T). Também farei verificação rápida de tensão para assegurar que não ultrapassamos o limite elástico.

Passo 3

Cálculo da área resistente (área efetiva de tração) do parafuso A_s.
Para rosca ISO a área resistente (tensile stress area) é aproximada por
A_s = \frac{\pi}{4}\bigl(d - 0{,}9382\,p\bigr)^2,
onde d é o diâmetro nominal e p o passo da rosca.
  • Para uma rosca M20 grossa o passo é p=2{,}5\\ \mathrm{mm}.
  • Substituindo d=20\\ \mathrm{mm} e p=2{,}5\\ \mathrm{mm}: d - 0{,}9382\,p = 20 - 0{,}9382\times2{,}5 = 17{,}6545\\ \mathrm{mm}.
A_s = \frac{\pi}{4}\,(17{,}6545)^2 \approx 245{,}0\\ \mathrm{mm}^2.
(essa é a área típica usada para M20; arredondei para 245{,}0\\ \mathrm{mm}^2).
Explicação curta: A_s é a área efetiva do núcleo do parafuso que realmente sustenta a força axial em tração — não usamos a área do filete externa porque a rosca reduz a seção útil.

Passo 4

Escolha da pré-carga F_i para a junção permanente e cálculo numérico.
  • Para a classe 8{,}8 temos resistência à tração nominal \,R_m = 800\\ \mathrm{MPa} (ou 800\\ \mathrm{N/mm}^2).
  • Adotei como critério prático F_i = 0{,}7\,R_m\,A_s (70% de R_m vezes a área resistente), que é um compromisso entre segurança e alto aperto para junção permanente.
  • Cálculo: F_i = 0{,}7\times 800\\ \mathrm{N/mm}^2 \times 245{,}0\\ \mathrm{mm}^2.
F_i = 0{,}7\times 800\times245{,}0 = 137\,200\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: esse valor é grande porque quer-se uma forte pré-carga para manter a junta presa. Em projeto real pode-se usar tabelas normativas ou método do alongamento controlado para maior precisão.

Passo 5

Relação torque–pré-carga e cálculo do torque de montagem T.
  • Relação empírica usada: T = K\,d\,F_i,com K=0{,}14 (fixadores lubrificados, valor representativo escolhido) e d=20\\ \mathrm{mm} = 0{,}02\\ \mathrm{m}.
  • Substituindo: T = 0{,}14 \times 0{,}02\\ \mathrm{m} \times 137\,200\\ \mathrm{N}.
T = 0{,}0028 \times 137\,200 \approx 384{,}2\\ \mathrm{N\cdot m}.
Arredondando para um valor prático: T \approx 384\\ \mathrm{N\cdot m} por parafuso.
Explicação adicional: o coeficiente K concentra efeitos de atrito na rosca e sob cabeça/porca; se o atrito for maior (menos lubrificação) K aumenta e o torque necessário cresce. Por exemplo, para K=0{,}12 o torque seria \approx 329\\ \mathrm{N\cdot m}; para K=0{,}18 seria \approx 494\\ \mathrm{N\cdot m}. Isso mostra a sensibilidade do resultado ao atrito.

Passo 6

Verificação rápida da tensão no parafuso (para checar segurança frente ao escoamento).
  • Tensão axial no parafuso após aperto: \sigma = \frac{F_i}{A_s} = \frac{137\,200}{245{,}0}\\ \mathrm{N/mm}^2 \approx 560\\ \mathrm{N/mm}^2.
  • Para classe 8{,}8 o limite de escoamento aproximado é R_e \approx 0{,}8\,R_m = 640\\ \mathrm{N/mm}^2. A tensão calculada ( \sim 560\\ \mathrm{N/mm}^2) está abaixo desse escoamento, portanto a escolha F_i=0{,}7\,R_m A_s é razoável do ponto de vista de não causar escoamento imediato.

Passo 7

Comentários finais, uso dos dados do enunciado (arruelas, espessuras, E_{\text{mancal}}) e limitações do método.
  • Observação sobre os dados de arruelas, espessuras e E_{\text{mancal}}=135\\ \mathrm{GPa}: esses dados serviriam, em uma análise mais detalhada, para calcular a rigidez da junta (constante elástica dos elementos comprimidos) e a rigidez do parafuso, determinando a repartição de carga quando há carregamento externo (modelo mola-parafuso/junta). No cálculo simples de torque–pré-carga adotado aqui essa informação não é necessária; por isso não foi usada diretamente.
  • Limitação: a relação T=K d F_i é empírica; em projeto crítico deve-se:
    • conhecer/medir coeficientes de atrito reais,
    • usar método do alongamento ou especificar torque de aperto recomendado pelo fabricante,
    • considerar verificação de fadiga, relaxação e efeito da montagem com arruelas (que alteram a rigidez local).
  • Motivação prática: para a prova e para projetos preliminares esta abordagem é a mais usada e fornece um valor de referência confiável.

Resposta

T \approx 384\\ \mathrm{N\cdot m} (torque de montagem por parafuso, considerando parafusos lubrificados e F_i=0{,}7\,R_mA_s).

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