Um bloco de massa m desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade inicial v0. Em seguida, ele encontra uma rampa com inclinação θ e coeficiente de atrito cinético μ.
Determine a velocidade do bloco ao retornar à base da rampa.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a velocidade do bloco ao retornar à base da rampa.
Informações dadas (listas de dados que podemos usar na resolução):
\;m — massa do bloco (não numerada).
\;v_0 — velocidade inicial do bloco na superfície horizontal antes da rampa.
\;\theta — inclinação da rampa em relação à horizontal.
\;\mu — coeficiente de atrito cinético entre bloco e rampa.
A superfície horizontal é sem atrito, a rampa possui atrito cinético. O bloco desliza para cima da rampa (vai subir, parar e depois pode deslizar de volta). A pergunta é a velocidade do bloco quando ele voltar à base da rampa (isto é, depois de subir e descer).

Passo 2

Escolha do método e ideia geral (sem calcular ainda): vamos usar o princípio da energia (teorema trabalho-energia) porque ele relaciona energia cinética inicial e final e permite somar o trabalho das forças não conservativas (atrito) de maneira direta, sem ter que encontrar a posição instantânea do bloco ao longo da rampa por equações de movimento. Isso é prático e dá uma fórmula limpa onde m normalmente cancela — ótima para prova. Se em algum ponto aparecer uma condição física (por exemplo atrito grande demais que impede o retorno), vamos identificá-la e explicá-la.

Passo 3

Breve aula sobre o teorema trabalho-energia e trabalho do atrito (passe tranquilo, passo a passo):
  • Teorema trabalho-energia (forma prática que usaremos): a variação da energia cinética iguala o trabalho total das forças externas não inclusas na energia potencial. Em situações com gravidade tratada por energia potencial U, é comum escrever conservação de energia incluindo trabalho das forças não conservativas W_{nc}:
K_i + U_i + W_{nc} = K_f + U_f.
Aqui K=\dfrac{1}{2}mv^2 é energia cinética; U=mgh é energia potencial gravitacional (com h altura vertical); e W_{nc} é o trabalho das forças não conservativas (aqui: atrito).
  • Trabalho do atrito cinético: se uma força de atrito de módulo F_{\text{at}}=\mu N age sobre um deslocamento s ao longo da superfície, o trabalho é
W_{\text{at}} = -\mu N s,
o sinal é negativo porque o atrito sempre retira energia (opõe-se ao deslocamento).
  • No trecho inclinado com ângulo \theta, normal N=m g \cos\theta. Então a força de atrito cinético tem módulo \mu m g \cos\theta e faz trabalho -\mu m g \cos\theta \cdot s ao se deslocar uma distância s ao longo da rampa.

Passo 4

Calcular a distância s que o bloco sobe antes de parar (subida desde a base até o ponto de parada onde a velocidade é zero). Aplicamos energia entre a base (ponto inicial na rampa) e o ponto mais alto (velocidade zero). Como a superfície horizontal antes da rampa era sem atrito, a energia cinética ao chegar na base é ainda \dfrac{1}{2} m v_0^2. Em subida, parte dessa energia vira energia potencial e parte é dissipada pelo atrito. Escrevemos:
\frac{1}{2} m v_0^2 - m g h - \mu m g \cos\theta \, s = 0,
onde h é a altura vertical alcançada e s é o comprimento percorrido ao longo da rampa. Relacionamento geométrico entre h e s: h = s \sin\theta. Substituindo:
\frac{1}{2} m v_0^2 - m g s \sin\theta - \mu m g \cos\theta \, s = 0.
Podemos dividir por m (cancela), ficando
\frac{1}{2} v_0^2 = g s\big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big).
Isolando s:
s = \frac{v_0^2}{2 g\big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big)}.
Observação física: s positiva desde que o denominador seja positivo; como \sin\theta\ge0 para 0\le\theta\le 90^\circ e \mu\ge0, denominador é positivo para ângulos usuais, então s faz sentido.

Passo 5

Energia na descida e velocidade final na base: no topo o bloco parou (velocidade zero). Ao descer a distância s de volta à base, a gravidade realiza trabalho positivo +m g s \sin\theta e o atrito novamente realiza trabalho negativo -\mu m g \cos\theta \, s. Aplicando energia entre o topo (velocidade zero) e a base (velocidade final v_f):
0 + m g s \sin\theta - \mu m g \cos\theta \, s = \frac{1}{2} m v_f^2.
Novamente dividimos por m:
\frac{1}{2} v_f^2 = g s\big(\sin\theta - \mu \cos\theta\big).
Agora substituímos s que encontramos no Passo 4:
\frac{1}{2} v_f^2 = g \cdot \frac{v_0^2}{2 g\big(\sin\theta + \mu \cos\theta\big)} \cdot \big(\sin\theta - \mu \cos\theta\big).
Simplificando g e fatores 2:
\frac{1}{2} v_f^2 = \frac{1}{2} v_0^2 \cdot \frac{\sin\theta - \mu \cos\theta}{\sin\theta + \mu \cos\theta}.
Multiplicando por 2,
v_f^2 = v_0^2 \cdot \frac{\sin\theta - \mu \cos\theta}{\sin\theta + \mu \cos\theta}.
Como velocidade é não negativa ao retornar, tomamos a raiz positiva:
v_f = v_0 \sqrt{\frac{\sin\theta - \mu \cos\theta}{\sin\theta + \mu \cos\theta}}.

Passo 6

Interpretação física e condição de validade:
  • A expressão acima só faz sentido (número real) se o numerador sob a raiz for não negativo:
\sin\theta - \mu \cos\theta \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad \mu \le \tan\theta.
  • Se \mu < \tan\theta então a componente do peso ao longo da rampa é maior que a força de atrito e o bloco, depois de parar no topo, conseguirá deslizar de volta até a base; aí a fórmula vale com a raiz positiva.
  • Se \mu \ge \tan\theta então, ao parar, a força de atrito (estática) pode segurar o bloco; o bloco não escorrega de volta para a base (na prática fica parado em algum ponto da rampa) — portanto ele não retorna à base e não existe velocidade final na base (equivalente prático: v_f=0 na base porque ele nunca alcança a base).
  • Verificação de limites: para \mu=0 (rampa sem atrito) a fórmula dá v_f=v_0, como deveria (energia conservada no ciclo). Para \theta muito grande (rampa íngreme) a perda por atrito é pequena relativa ao ganho/gravitacional e v_f fica mais próximo de v_0.

Resposta

v_f = v_0 \sqrt{\dfrac{\sin\theta - \mu \cos\theta}{\sin\theta + \mu \cos\theta}},\quad\text{válido se }\mu<\tan\theta.á
Se \mu\ge\tan\theta o bloco não retorna à base (fica parado na rampa).

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