Um bloco de massa m desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade inicial v0. Em seguida, ele encontra uma rampa com inclinação θ e coeficiente de atrito cinético μ.
Determine a velocidade do bloco ao retornar à base da rampa.
Determine a velocidade do bloco ao retornar à base da rampa.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a velocidade do bloco ao retornar à base da rampa.
Informações dadas (listas de dados que podemos usar na resolução):
— massa do bloco (não numerada).
— velocidade inicial do bloco na superfície horizontal antes da rampa.
— inclinação da rampa em relação à horizontal.
— coeficiente de atrito cinético entre bloco e rampa.
A superfície horizontal é sem atrito, a rampa possui atrito cinético. O bloco desliza para cima da rampa (vai subir, parar e depois pode deslizar de volta). A pergunta é a velocidade do bloco quando ele voltar à base da rampa (isto é, depois de subir e descer).
Informações dadas (listas de dados que podemos usar na resolução):
A superfície horizontal é sem atrito, a rampa possui atrito cinético. O bloco desliza para cima da rampa (vai subir, parar e depois pode deslizar de volta). A pergunta é a velocidade do bloco quando ele voltar à base da rampa (isto é, depois de subir e descer).
Passo 2
Escolha do método e ideia geral (sem calcular ainda): vamos usar o princípio da energia (teorema trabalho-energia) porque ele relaciona energia cinética inicial e final e permite somar o trabalho das forças não conservativas (atrito) de maneira direta, sem ter que encontrar a posição instantânea do bloco ao longo da rampa por equações de movimento. Isso é prático e dá uma fórmula limpa onde
normalmente cancela — ótima para prova. Se em algum ponto aparecer uma condição física (por exemplo atrito grande demais que impede o retorno), vamos identificá-la e explicá-la.
Passo 3
Breve aula sobre o teorema trabalho-energia e trabalho do atrito (passe tranquilo, passo a passo):
- Teorema trabalho-energia (forma prática que usaremos): a variação da energia cinética iguala o trabalho total das forças externas não inclusas na energia potencial. Em situações com gravidade tratada por energia potencial
, é comum escrever conservação de energia incluindo trabalho das forças não conservativas :
Aqui
é energia cinética;
é energia potencial gravitacional (com
altura vertical); e
é o trabalho das forças não conservativas (aqui: atrito).
- Trabalho do atrito cinético: se uma força de atrito de módulo
age sobre um deslocamento ao longo da superfície, o trabalho é
o sinal é negativo porque o atrito sempre retira energia (opõe-se ao deslocamento).
- No trecho inclinado com ângulo
, normal . Então a força de atrito cinético tem módulo e faz trabalho ao se deslocar uma distância ao longo da rampa.
Passo 4
Calcular a distância
que o bloco sobe antes de parar (subida desde a base até o ponto de parada onde a velocidade é zero). Aplicamos energia entre a base (ponto inicial na rampa) e o ponto mais alto (velocidade zero). Como a superfície horizontal antes da rampa era sem atrito, a energia cinética ao chegar na base é ainda
. Em subida, parte dessa energia vira energia potencial e parte é dissipada pelo atrito. Escrevemos:
onde
é a altura vertical alcançada e
é o comprimento percorrido ao longo da rampa. Relacionamento geométrico entre
e
:
. Substituindo:
Podemos dividir por
(cancela), ficando
Isolando
:
Observação física:
positiva desde que o denominador seja positivo; como
para
e
, denominador é positivo para ângulos usuais, então
faz sentido.
Passo 5
Energia na descida e velocidade final na base: no topo o bloco parou (velocidade zero). Ao descer a distância
de volta à base, a gravidade realiza trabalho positivo
e o atrito novamente realiza trabalho negativo
. Aplicando energia entre o topo (velocidade zero) e a base (velocidade final
):
Novamente dividimos por
:
Agora substituímos
que encontramos no Passo 4:
Simplificando
e fatores
:
Multiplicando por 2,
Como velocidade é não negativa ao retornar, tomamos a raiz positiva:
Passo 6
Interpretação física e condição de validade:
- A expressão acima só faz sentido (número real) se o numerador sob a raiz for não negativo:
- Se
então a componente do peso ao longo da rampa é maior que a força de atrito e o bloco, depois de parar no topo, conseguirá deslizar de volta até a base; aí a fórmula vale com a raiz positiva. - Se
então, ao parar, a força de atrito (estática) pode segurar o bloco; o bloco não escorrega de volta para a base (na prática fica parado em algum ponto da rampa) — portanto ele não retorna à base e não existe velocidade final na base (equivalente prático: na base porque ele nunca alcança a base). - Verificação de limites: para
(rampa sem atrito) a fórmula dá , como deveria (energia conservada no ciclo). Para muito grande (rampa íngreme) a perda por atrito é pequena relativa ao ganho/gravitacional e fica mais próximo de .
Resposta
Se