Um bloco de massa m desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade inicial v0. Em seguida, ele encontra uma rampa com inclinação θ e coeficiente de atrito cinético μ.
Determine a altura máxima que o bloco atinge na rampa.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a altura máxima que o bloco atinge na rampa. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
\;m = massa do bloco (não precisa do valor numérico).
\;v_0 = velocidade inicial do bloco sobre a superfície horizontal sem atrito, imediatamente antes de subir a rampa.
\;\theta = inclinação da rampa (ângulo que a rampa faz com a horizontal).
\;\mu = coeficiente de atrito cinético entre bloco e rampa.
A pergunta única: qual é a altura máxima h (medida vertical) que o bloco atinge na rampa?

Passo 2

Escolha do método e ideia física (explicando a teoria que vamos usar, bem devagar):
Usamos o princípio da conservação de energia com trabalho de forças não conservativas. A ideia é: a energia cinética inicial do bloco será transformada em energia potencial gravitacional ao subir, mas parte dessa energia será dissipada pelo trabalho da força de atrito. Matematicamente, escreveremos que a energia inicial é igual à soma da energia potencial adquirida mais a energia dissipada pelo atrito.
Vou explicar as fórmulas básicas que usarei:
  • Energia cinética: \displaystyle \text{KE}=\tfrac{1}{2} m v^2, onde m é massa e v a velocidade.
  • Energia potencial gravitacional (variação): \displaystyle \Delta \text{PE}=m g h, onde g é a aceleração da gravidade e h a altura vertical ganha.
  • Trabalho da força de atrito (energia dissipada): é igual a -F_{\text{at}} \, s, onde F_{\text{at}} é a intensidade da força de atrito e s é a distância percorrida ao longo da rampa. O sinal é negativo porque o atrito retira energia do sistema.
No instante de altura máxima a velocidade é zero, então toda a energia cinética inicial foi consumida por \Delta \text{PE} e pelo trabalho negativo do atrito.

Passo 3

Escrevendo a equação de conservação de energia com trabalho do atrito:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 = m g h + W_{\text{at}}
onde W_{\text{at}} é o trabalho efetuado pela força de atrito (um valor positivo na soma à direita porque já coloquei m g h como ganho e o atrito reduz a energia disponível; vou calcular W_{\text{at}} como energia dissipada).

Passo 4

Cálculo da força de atrito cinético F_{\text{at}}:
Para uma superfície inclinada com ângulo \theta, a normal N vale
N = m g \cos\theta,
porque a componente do peso perpendicular à rampa é m g \cos\theta. A força de atrito cinético tem intensidade
F_{\text{at}} = \mu N = \mu m g \cos\theta.
Expliquei: \mu é adimensional, m g \cos\theta tem unidades de força, logo F_{\text{at}} tem unidades de força.

Passo 5

Relação entre a distância percorrida ao longo da rampa s e a altura vertical h:
Se o bloco sobe uma distância s ao longo da rampa, a componente vertical dessa subida é
h = s \sin\theta.
Portanto
s = \frac{h}{\sin\theta}.
Isso é apenas trigonometria do triângulo formado pela rampa.

Passo 6

Cálculo do trabalho dissipado pelo atrito W_{\text{at}}:
O trabalho escalar realizado pela força de atrito ao deslocamento s é (em módulo)
W_{\text{at}} = F_{\text{at}} \, s = (\mu m g \cos\theta)\, s.
Substituindo s=\dfrac{h}{\sin\theta} obtemos
W_{\text{at}} = \mu m g \cos\theta \cdot \frac{h}{\sin\theta} = \mu m g h \frac{\cos\theta}{\sin\theta}.
Reconhecemos \dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta, então
W_{\text{at}} = \mu m g h \cot\theta.

Passo 7

Substituindo W_{\text{at}} na equação de energia do Passo 3:
\tfrac{1}{2} m v_0^2 = m g h + \mu m g h \cot\theta.
Agora explico cada termo: o lado esquerdo é a energia cinética inicial; no lado direito, o primeiro termo é a energia potencial adquirida e o segundo é a energia perdida por atrito ao subir até altura h.

Passo 8

Fatorando m g h no lado direito e simplificando a massa m (aparece em todos os termos, então corta-se):
\tfrac{1}{2} v_0^2 = g h \bigl(1 + \mu \cot\theta\bigr).
Expliquei: dividi ambos os lados por m e reorganizei.

Passo 9

Isolando h para obter a expressão final:
h = \frac{\tfrac{1}{2} v_0^2}{g\bigl(1 + \mu \cot\theta\bigr)} = \frac{v_0^2}{2 g \bigl(1 + \mu \cot\theta\bigr)}.
Aqui usei a identidade \cot\theta=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}. Essa é a altura máxima atingida pelo bloco, em termos de v_0, g, \mu e \theta.

Passo 10

Verificações rápidas para ter confiança na fórmula (coisas úteis para a prova):
  • Caso sem atrito (\mu=0): \displaystyle h=\frac{v_0^2}{2g}, que é o resultado clássico (energia cinética transformada totalmente em potencial).
  • Para ângulos muito pequenos ( \theta\to 0), \cot\theta\to\infty e h\to 0: faz sentido, porque para rampas quase horizontais o atrito consome muita energia para ganhar pouca altura.
  • As unidades conferem: v_0^2/(g) tem dimensão de comprimento, e o denominador adimensional, logo h tem unidades de comprimento.

Resposta

h=\frac{v_0^2}{2g\bigl(1+\mu\cot\theta\bigr)}

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