Um bloco de massa m desliza sobre uma superfície horizontal sem atrito, com velocidade inicial v0. Em seguida, ele encontra uma rampa com inclinação θ e coeficiente de atrito cinético μ.
Determine a altura máxima que o bloco atinge na rampa.
Determine a altura máxima que o bloco atinge na rampa.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a altura máxima que o bloco atinge na rampa. Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
= massa do bloco (não precisa do valor numérico).
= velocidade inicial do bloco sobre a superfície horizontal sem atrito, imediatamente antes de subir a rampa.
= inclinação da rampa (ângulo que a rampa faz com a horizontal).
= coeficiente de atrito cinético entre bloco e rampa.
A pergunta única: qual é a altura máxima (medida vertical) que o bloco atinge na rampa?
A pergunta única: qual é a altura máxima
Passo 2
Escolha do método e ideia física (explicando a teoria que vamos usar, bem devagar):
Usamos o princípio da conservação de energia com trabalho de forças não conservativas. A ideia é: a energia cinética inicial do bloco será transformada em energia potencial gravitacional ao subir, mas parte dessa energia será dissipada pelo trabalho da força de atrito. Matematicamente, escreveremos que a energia inicial é igual à soma da energia potencial adquirida mais a energia dissipada pelo atrito.
Usamos o princípio da conservação de energia com trabalho de forças não conservativas. A ideia é: a energia cinética inicial do bloco será transformada em energia potencial gravitacional ao subir, mas parte dessa energia será dissipada pelo trabalho da força de atrito. Matematicamente, escreveremos que a energia inicial é igual à soma da energia potencial adquirida mais a energia dissipada pelo atrito.
Vou explicar as fórmulas básicas que usarei:
- Energia cinética:
, onde é massa e a velocidade. - Energia potencial gravitacional (variação):
, onde é a aceleração da gravidade e a altura vertical ganha. - Trabalho da força de atrito (energia dissipada): é igual a
, onde é a intensidade da força de atrito e é a distância percorrida ao longo da rampa. O sinal é negativo porque o atrito retira energia do sistema.
No instante de altura máxima a velocidade é zero, então toda a energia cinética inicial foi consumida por
e pelo trabalho negativo do atrito.
Passo 3
Escrevendo a equação de conservação de energia com trabalho do atrito:
onde
é o trabalho efetuado pela força de atrito (um valor positivo na soma à direita porque já coloquei
como ganho e o atrito reduz a energia disponível; vou calcular
como energia dissipada).
Passo 4
Cálculo da força de atrito cinético
:
Para uma superfície inclinada com ângulo , a normal
vale
Para uma superfície inclinada com ângulo
porque a componente do peso perpendicular à rampa é
. A força de atrito cinético tem intensidade
Expliquei:
é adimensional,
tem unidades de força, logo
tem unidades de força.
Passo 5
Relação entre a distância percorrida ao longo da rampa
e a altura vertical
:
Se o bloco sobe uma distância ao longo da rampa, a componente vertical dessa subida é
Se o bloco sobe uma distância
Portanto
Isso é apenas trigonometria do triângulo formado pela rampa.
Passo 6
Cálculo do trabalho dissipado pelo atrito
:
O trabalho escalar realizado pela força de atrito ao deslocamento é (em módulo)
O trabalho escalar realizado pela força de atrito ao deslocamento
Substituindo
obtemos
Reconhecemos
, então
Passo 7
Substituindo
na equação de energia do Passo 3:
Agora explico cada termo: o lado esquerdo é a energia cinética inicial; no lado direito, o primeiro termo é a energia potencial adquirida e o segundo é a energia perdida por atrito ao subir até altura
.
Passo 8
Fatorando
no lado direito e simplificando a massa
(aparece em todos os termos, então corta-se):
Expliquei: dividi ambos os lados por
e reorganizei.
Passo 9
Isolando
para obter a expressão final:
Aqui usei a identidade
. Essa é a altura máxima atingida pelo bloco, em termos de
,
,
e
.
Passo 10
Verificações rápidas para ter confiança na fórmula (coisas úteis para a prova):
- Caso sem atrito
: , que é o resultado clássico (energia cinética transformada totalmente em potencial). - Para ângulos muito pequenos (
), e : faz sentido, porque para rampas quase horizontais o atrito consome muita energia para ganhar pouca altura. - As unidades conferem:
tem dimensão de comprimento, e o denominador adimensional, logo tem unidades de comprimento.