Determine a área da região limitada pelas curvas:
y = x^2 e y = \sqrt{x}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas \,y=x^2 e \,y=\sqrt{x}.
Informações dadas:
  • Duas curvas explícitas em função de x: \,y=x^2 e \,y=\sqrt{x}.
  • A região buscada é a parte do plano onde as duas curvas se interceptam e formam um “fechamento” — isto exige achar os pontos de interseção e qual curva fica acima da outra entre esses pontos.
Observação importante (tirada do enunciado): a função \,\sqrt{x} só está definida para x\ge0, então qualquer interseção e a região relevante estarão em x\ge0.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo a equação
x^2 = \sqrt{x}.
Vamos manipular isso com potências: \sqrt{x}=x^{1/2}. Então
x^2 = x^{1/2}.
Coloco tudo em um lado:
x^2 - x^{1/2} = 0.
Fatorando x^{1/2} (isso é válido porque consideramos x\ge0):
x^{1/2}\bigl(x^{3/2}-1\bigr)=0.
Portanto as soluções são x^{1/2}=0\Rightarrow x=0 e x^{3/2}=1\Rightarrow x=1.
Assim os pontos de interseção têm abscissas x=0 e x=1. Correspondem aos pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Determinar qual curva está acima entre x=0 e x=1.
Compare a diferença
\sqrt{x}-x^2 = x^{1/2}-x^2 = x^{1/2}\bigl(1-x^{3/2}\bigr).
Para 0<x<1, temos x^{1/2}>0 e x^{3/2}<1, logo \sqrt{x}-x^2>0. Assim \sqrt{x} está acima de x^2 em todo o intervalo aberto (0,1). Em x=0 e x=1 elas se encontram.
Uma verificação numérica rápida (pra ficar tranquilo): em x=\tfrac{1}{4}, x^2=\tfrac{1}{16}=0,0625 e \sqrt{x}=\tfrac{1}{2}=0,5, confirmando \sqrt{x} acima.

Passo 4

Montar a expressão da área com a ideia geométrica: área entre duas curvas y=f(x) e y=g(x), com f acima de g no intervalo [a,b], é
\text{Área}=\int_{a}^{b}\bigl(f(x)-g(x)\bigr)\,dx.Á
Interpretação rápida: dividimos a região em retângulos verticais de largura infinitesimal dx e altura f(x)-g(x); somando todos (integrando) obtemos a área.

Passo 5

Aplicando ao nosso caso: f(x)=\sqrt{x}=x^{1/2}, g(x)=x^2, a=0, b=1. Logo
\text{Área}=\int_{0}^{1}\bigl(x^{1/2}-x^2\bigr)\,dx.Á

Passo 6

Calcular a integral termo a termo usando a regra da potência para integrais: para n\neq-1,
\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Aplicando:
\int x^{1/2}\,dx=\frac{x^{3/2}}{3/2}=\frac{2}{3}x^{3/2}, \qquad \int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}.
Portanto a primitiva de x^{1/2}-x^2 é \dfrac{2}{3}x^{3/2}-\dfrac{1}{3}x^3.

Passo 7

Avaliar a integral definida de 0 a 1:
\text{Área}=\left[\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \left(\frac{2}{3}\cdot1^{3/2}-\frac{1}{3}\cdot1^3\right)-\left(\frac{2}{3}\cdot0-\frac{1}{3}\cdot0\right).Á
Isso dá
\text{Área}=\frac{2}{3}-\frac{1}{3}=\frac{1}{3}.Á

Passo 8

Conclusão final e checagem rápida: a área é positiva e pequena, \tfrac{1}{3}, o que faz sentido pelo desenho típico das curvas (uma raiz quadrada acima de uma parábola perto da origem). Tá feito — perseverou e chegou no resultado!

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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