Determine a área da região limitada pelas curvas:
e
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar a área da região limitada pelas curvas
e
.
Informações dadas:
- Duas curvas explícitas em função de
: e . - A região buscada é a parte do plano onde as duas curvas se interceptam e formam um “fechamento” — isto exige achar os pontos de interseção e qual curva fica acima da outra entre esses pontos.
Observação importante (tirada do enunciado): a função
só está definida para
, então qualquer interseção e a região relevante estarão em
.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção das curvas resolvendo a equação
Vamos manipular isso com potências:
. Então
Coloco tudo em um lado:
Fatorando
(isso é válido porque consideramos
):
Portanto as soluções são
e
.
Assim os pontos de interseção têm abscissas e
. Correspondem aos pontos
e
.
Assim os pontos de interseção têm abscissas
Passo 3
Determinar qual curva está acima entre
e
.
Compare a diferença
Para
, temos
e
, logo
. Assim
está acima de
em todo o intervalo aberto
. Em
e
elas se encontram.
Uma verificação numérica rápida (pra ficar tranquilo): em
,
e
, confirmando
acima.
Passo 4
Montar a expressão da área com a ideia geométrica: área entre duas curvas
e
, com
acima de
no intervalo
, é
Interpretação rápida: dividimos a região em retângulos verticais de largura infinitesimal
e altura
; somando todos (integrando) obtemos a área.
Passo 5
Aplicando ao nosso caso:
,
,
,
. Logo
Passo 6
Calcular a integral termo a termo usando a regra da potência para integrais: para
,
Aplicando:
Portanto a primitiva de
é
.
Passo 7
Avaliar a integral definida de
a
:
Isso dá
Passo 8
Conclusão final e checagem rápida: a área é positiva e pequena,
, o que faz sentido pelo desenho típico das curvas (uma raiz quadrada acima de uma parábola perto da origem). Tá feito — perseverou e chegou no resultado!