Considere dois vetores \vec{A}=3 \hat{\imath}-2 \hat{\jmath}+\hat{k} e \vec{B}=-\hat{\imath}-4 \hat{\jmath}-\hat{k}. Calcule:
\vec{A} \cdot \vec{B}

Passo 1

O enunciado dá dois vetores e pede o produto escalar (dot product) entre eles. Informações fornecidas:
\vec{A}=3\hat{\imath}-2\hat{\jmath}+\hat{k}
\vec{B}=-\hat{\imath}-4\hat{\jmath}-\hat{k}
Pergunta: calcular \vec{A}\cdot\vec{B}.

Passo 2

Definição e ideia chave: o produto escalar entre dois vetores em coordenadas componentes é a soma dos produtos das componentes correspondentes. Mais formalmente, se
\vec{A}=(A_x,A_y,A_z),\qquad \vec{B}=(B_x,B_y,B_z),
então
\vec{A}\cdot\vec{B}=A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z.
Isto funciona porque os versores \hat{\imath},\hat{\jmath},\hat{k} são ortonormais: \hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=1, \hat{\imath}\cdot\hat{\jmath}=0 etc., então só permanecem os produtos das mesmas direções.

Passo 3

Identificar as componentes dos vetores (pegando-as diretamente das expressões dadas):
A_x=3,\qquad A_y=-2,\qquad A_z=1,
B_x=-1,\qquad B_y=-4,\qquad B_z=-1.

Passo 4

Calcular os produtos das componentes correspondentes, um por um:
A_xB_x = 3\cdot(-1) = -3,
A_yB_y = (-2)\cdot(-4) = 8,
A_zB_z = 1\cdot(-1) = -1.

Passo 5

Somar os resultados para obter o produto escalar:
\vec{A}\cdot\vec{B} = -3 + 8 + (-1).
Fazendo as contas passo a passo:
-3 + 8 = 5,
5 + (-1) = 4.

Passo 6

Interpretação rápida (útil na prova): \vec{A}\cdot\vec{B}=4>0 indica que o ângulo entre \vec{A} e \vec{B} é menor que 90^\circ. Mas a resposta numérica que precisamos é o valor do produto escalar.

Resposta

4

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