A janela de um prédio é uma produzida como uma lâmina de faces paralelas com espessura de 5 cm e produzido com com material de índice de refração dado por n=\sqrt{3}. Essa lâmina está envolta no ar \left(n_{a r} \approx 1\right) e um feixe luminoso incide sobre essa lâmina fazendo um ângulo de 60^{\circ} com o eixo normal de um dos planos.
(a) Esse feixe pode sofrer refrações devido nos dois planos paralelos da janela? Demostre o seu resultado. (Resp: sim.)
(b) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, as direções de propagação da luz incidente e da luz após sofre as duas refrações são paralelas?
(c) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, qual a menor distância entre as direções de propagação da luz incidente e da luz após passar pela janela? (Resp: 2,87 \mathrm{~cm} )

Passo 1

O enunciado dá uma lâmina de faces paralelas de espessura 5\\ \mathrm{cm} e índice de refração n=\sqrt{3}, envolta em ar com n_{ar}\approx1. Um feixe incide sobre uma das faces formando um ângulo de 60^\circ com a normal dessa face.
As perguntas são:
(a) O feixe pode sofrer refrações nos dois planos paralelos da lâmina? (resposta esperada: sim)
(b) Se sim, as direções de propagação da luz incidente e da luz após atravessar a lâmina são paralelas?
(c) Se sim, qual a menor distância entre as direções de propagação da luz incidente e da luz após passar pela janela? (resposta esperada: 2,87\\ \mathrm{cm})
Informações relevantes listadas:
  • Espessura da lâmina: t=5\\ \mathrm{cm}.
  • Índice do vidro: n=\sqrt{3}.
  • Índice do ar: n_{ar}=1.
  • Ângulo de incidência (com a normal): \theta_1=60^\circ.

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular o ângulo refratado dentro da lâmina usando a Lei de Snell. Vou explicar a Lei de Snell de forma bem clara: ela diz que, para uma fronteira entre meios com índices n_1 e n_2, os ângulos medidos em relação à normal satisfazem
n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2.
Aqui, no primeiro contato, o feixe vai do ar ( n_1=1) para a lâmina ( n_2=n=\sqrt{3}). Aplicando:
1\cdot\sin\theta_1=\sqrt{3}\,\sin\theta_2.
Substituindo \theta_1=60^\circ e \sin60^\circ=\dfrac{\sqrt{3}}{2}, temos
\sin\theta_2=\frac{1}{\sqrt{3}}\sin60^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}.
Portanto
\theta_2=30^\circ.
Agora, para que ocorra refração também no segundo plano (saída da lâmina para o ar) é preciso que não haja reflexão interna total. A condição para reflexão interna total é \theta_2\ge\theta_c, onde o ângulo crítico \theta_c satisfaz
\sin\theta_c=\frac{n_{ar}}{n}=\frac{1}{\sqrt{3}}\approx0,577.
Assim \theta_c\approx35{,}26^\circ. Como \theta_2=30^\circ<\theta_c, não ocorre reflexão interna total e o feixe é transmitido para o ar no segundo plano. Conclusão do item (a): sim, o feixe sofre refrações em ambos os planos.

Passo 3

Agora mostro que a direção de saída é paralela à direção de entrada. A explicação conceitual: em uma lâmina de faces paralelas, se o meio inicial e final são o mesmo (aqui, ar), a direção emergente é paralela à incidente — mas vamos demonstrar com Snell de novo. Na saída temos o raio indo do meio com índice \sqrt{3} para o ar com índice 1. Aplicando Snell na saída:
\sqrt{3}\sin\theta_2=1\cdot\sin\theta_3,
onde \theta_3 é o ângulo do raio emergente com a normal. Substituindo \theta_2=30^\circ e \sin30^\circ=\tfrac{1}{2},
\sin\theta_3=\sqrt{3}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin60^\circ.
Logo \theta_3=60^\circ=\theta_1. Como o ângulo relativo à normal é igual, as direções dos raios incidente e emergente são paralelas. Conclusão do item (b): sim, são paralelas.

Passo 4

Agora vamos achar a menor distância entre as duas direções de propagação (distância perpendicular entre duas retas paralelas). Vou construir a geometria e explicar passo a passo. Considere a lâmina com faces paralelas separadas pela distância (espessura) t medida ao longo da normal. Seja A o ponto de entrada do raio na face superior e B o ponto de saída na face inferior. O raio incidente (se prolongado) e o raio emergente são duas retas paralelas separadas por uma distância mínima D (a distância perpendicular entre elas) que queremos achar.
Vamos calcular a diferença horizontal (paralela às faces) entre o ponto onde o raio incidente, se prolongado, cruzaria a face inferior e o ponto B. Esse deslocamento horizontal vale
\Delta_x = t\bigl(\tan\theta_1-\tan\theta_2\bigr).
Explicação: ao deslocar-se uma distância vertical (normal) t, a componente lateral do raio incidente contínuo seria t\tan\theta_1; a componente lateral do raio efetivo dentro da lâmina é t\tan\theta_2; a diferença é a separação medida na direção paralela à superfície.
A menor distância perpendicular D entre as duas retas paralelas (raio incidente e raio emergente) é a componente dessa diferença horizontal na direção perpendicular às retas. Como as retas fazem ângulo \theta_1 com a normal, a componente perpendicular corresponde a multiplicar por \cos\theta_1:
D=\Delta_x\cos\theta_1=t\bigl(\tan\theta_1-\tan\theta_2\bigr)\cos\theta_1.
Agora simplificamos usando identidades trigonométricas. Observe que \tan\theta\cos\theta=\sin\theta. Assim
D=t\bigl(\sin\theta_1-\sin\theta_2\frac{\cos\theta_1}{\cos\theta_2}\bigr).
Colocando em evidência e reconhecendo a fórmula do seno da diferença:
D=t\;\frac{\sin\theta_1\cos\theta_2-\cos\theta_1\sin\theta_2}{\cos\theta_2} = t\;\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}.
Portanto a fórmula final, compacta e muito usada para o deslocamento lateral perpendicular entre raios em lâmina de faces paralelas é
\boxed{D=t\;\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}}.

Passo 5

Aplicando a fórmula aos valores numéricos: t=5\\ \mathrm{cm}, \theta_1=60^\circ, \theta_2=30^\circ. Calculamos as funções trigonométricas necessárias:
\sin(\theta_1-\theta_2)=\sin30^\circ=\tfrac{1}{2}, \qquad \cos\theta_2=\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}.
Substituindo em
D=t\;\frac{\sin(\theta_1-\theta_2)}{\cos\theta_2}
obtemos
D=5\\ \mathrm{cm}\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{3}}{2}}=5\\ \mathrm{cm}\cdot\frac{1}{\sqrt{3}}=5\cdot0{,}577350\ldots\\ \mathrm{cm}\approx2{,}88675\\ \mathrm{cm}.
Arredondando conforme a resposta esperada, D\approx2{,}87\\ \mathrm{cm}. Isso coincide com a resposta dada no enunciado.

Resposta

(a) Sim.
(b) Sim, são paralelas.
(c) 2{,}87\\ \mathrm{cm}

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