A janela de um prédio é uma produzida como uma lâmina de faces paralelas com espessura de 5 cm e produzido com com material de índice de refração dado por
. Essa lâmina está envolta no ar
e um feixe luminoso incide sobre essa lâmina fazendo um ângulo de
com o eixo normal de um dos planos.
(a) Esse feixe pode sofrer refrações devido nos dois planos paralelos da janela? Demostre o seu resultado. (Resp: sim.)
(b) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, as direções de propagação da luz incidente e da luz após sofre as duas refrações são paralelas?
(c) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, qual a menor distância entre as direções de propagação da luz incidente e da luz após passar pela janela? (Resp:
)
(a) Esse feixe pode sofrer refrações devido nos dois planos paralelos da janela? Demostre o seu resultado. (Resp: sim.)
(b) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, as direções de propagação da luz incidente e da luz após sofre as duas refrações são paralelas?
(c) Caso a resposta do item anterior seja afirmativa, qual a menor distância entre as direções de propagação da luz incidente e da luz após passar pela janela? (Resp:
Passo 1
O enunciado dá uma lâmina de faces paralelas de espessura
e índice de refração
, envolta em ar com
. Um feixe incide sobre uma das faces formando um ângulo de
com a normal dessa face.
As perguntas são:
(a) O feixe pode sofrer refrações nos dois planos paralelos da lâmina? (resposta esperada: sim)
(b) Se sim, as direções de propagação da luz incidente e da luz após atravessar a lâmina são paralelas?
(c) Se sim, qual a menor distância entre as direções de propagação da luz incidente e da luz após passar pela janela? (resposta esperada: )
Informações relevantes listadas:
As perguntas são:
(a) O feixe pode sofrer refrações nos dois planos paralelos da lâmina? (resposta esperada: sim)
(b) Se sim, as direções de propagação da luz incidente e da luz após atravessar a lâmina são paralelas?
(c) Se sim, qual a menor distância entre as direções de propagação da luz incidente e da luz após passar pela janela? (resposta esperada:
Informações relevantes listadas:
- Espessura da lâmina:
. - Índice do vidro:
. - Índice do ar:
. - Ângulo de incidência (com a normal):
.
Passo 2
Primeiro passo técnico: calcular o ângulo refratado dentro da lâmina usando a Lei de Snell. Vou explicar a Lei de Snell de forma bem clara: ela diz que, para uma fronteira entre meios com índices
e
, os ângulos medidos em relação à normal satisfazem
Aqui, no primeiro contato, o feixe vai do ar (
) para a lâmina (
). Aplicando:
Substituindo
e
, temos
Portanto
Agora, para que ocorra refração também no segundo plano (saída da lâmina para o ar) é preciso que não haja reflexão interna total. A condição para reflexão interna total é
, onde o ângulo crítico
satisfaz
Assim
. Como
, não ocorre reflexão interna total e o feixe é transmitido para o ar no segundo plano. Conclusão do item (a): sim, o feixe sofre refrações em ambos os planos.
Passo 3
Agora mostro que a direção de saída é paralela à direção de entrada. A explicação conceitual: em uma lâmina de faces paralelas, se o meio inicial e final são o mesmo (aqui, ar), a direção emergente é paralela à incidente — mas vamos demonstrar com Snell de novo. Na saída temos o raio indo do meio com índice
para o ar com índice
. Aplicando Snell na saída:
onde
é o ângulo do raio emergente com a normal. Substituindo
e
,
Logo
. Como o ângulo relativo à normal é igual, as direções dos raios incidente e emergente são paralelas. Conclusão do item (b): sim, são paralelas.
Passo 4
Agora vamos achar a menor distância entre as duas direções de propagação (distância perpendicular entre duas retas paralelas). Vou construir a geometria e explicar passo a passo. Considere a lâmina com faces paralelas separadas pela distância (espessura)
medida ao longo da normal. Seja
o ponto de entrada do raio na face superior e
o ponto de saída na face inferior. O raio incidente (se prolongado) e o raio emergente são duas retas paralelas separadas por uma distância mínima
(a distância perpendicular entre elas) que queremos achar.
Vamos calcular a diferença horizontal (paralela às faces) entre o ponto onde o raio incidente, se prolongado, cruzaria a face inferior e o ponto
. Esse deslocamento horizontal vale
Explicação: ao deslocar-se uma distância vertical (normal)
, a componente lateral do raio incidente contínuo seria
; a componente lateral do raio efetivo dentro da lâmina é
; a diferença é a separação medida na direção paralela à superfície.
A menor distância perpendicular
entre as duas retas paralelas (raio incidente e raio emergente) é a componente dessa diferença horizontal na direção perpendicular às retas. Como as retas fazem ângulo
com a normal, a componente perpendicular corresponde a multiplicar por
:
Agora simplificamos usando identidades trigonométricas. Observe que
. Assim
Colocando em evidência e reconhecendo a fórmula do seno da diferença:
Portanto a fórmula final, compacta e muito usada para o deslocamento lateral perpendicular entre raios em lâmina de faces paralelas é
Passo 5
Aplicando a fórmula aos valores numéricos:
,
,
. Calculamos as funções trigonométricas necessárias:
Substituindo em
obtemos
Arredondando conforme a resposta esperada,
. Isso coincide com a resposta dada no enunciado.
Resposta
(a) Sim.
(b) Sim, são paralelas.
(c)
(b) Sim, são paralelas.
(c)