Um bloco (1) de massa igual a M está preso a um fio, de comprimento L_{1}, que está fixo na outra extremidade. Um segundo bloco (2), de massa 2 M, está ligado ao primeiro por um fio de comprimento L_{2}\left(L_{2}=L_{1}=L\right), Os blocos giram num círculo horizontal sobre uma mesa sem atrito. O módulo da velocidade do bloco 1 é v e o módulo da velocidade do bloco 2 é 2 v. Determine, em função de M, v e L,
a tensão no fio de comprimento L_{1}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede, sem resolver nada ainda.
  • O enunciado pede: determinar a tensão no fio de comprimento L_{1} (ou seja, a tensão que prende o bloco 1 ao ponto fixo), expressa em função de M, v e L.
  • Informações dadas (peguei estes dados do enunciado e da figura):
    • Massa do bloco 1: M.
    • Massa do bloco 2: 2M.
    • Comprimentos: L_{1}=L_{2}=L.
    • Velocidade (módulo) do bloco 1: v.
    • Velocidade (módulo) do bloco 2: 2v.
    • Os blocos giram sobre uma mesa horizontal sem atrito, em movimento circular uniforme em torno do ponto fixo na extremidade do fio de comprimento L_{1}.
    • As posições radiais (distâncias do centro de rotação): o bloco 1 descreve um círculo de raio r_{1}=L_{1}=L; o bloco 2 descreve um círculo de raio r_{2}=L_{1}+L_{2}=2L.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (aula curta e simples).
  • Em movimento circular uniforme, a aceleração centrípeta tem módulo
a_{c}=\frac{v^{2}}{r},
onde v é a velocidade tangencial e r é o raio do círculo. Essa aceleração aponta para o centro do círculo.
  • Pela 2ª Lei de Newton, a força resultante apontando para o centro (força centrípeta) vale
F_{c}=m\,a_{c}=m\frac{v^{2}}{r},
onde m é a massa do corpo.
  • No nosso problema, as forças horizontais são tensões nos fios; cada corpo precisa de uma força resultante dirigida para o centro igual a m v^{2}/r. Vou aplicar isso separadamente a cada bloco.

Passo 3

Equilíbrio dinâmico do bloco 2 (o externo). Identificar forças e escrever a equação.
  • Forças horizontais sobre o bloco 2: apenas a tensão do fio que liga 2 a 1. Denotemos essa tensão por T_{2}. Ela aponta para dentro (direção ao bloco 1).
  • A força centrípeta necessária para manter 2 em movimento circular é
F_{c,2}=m_{2}\frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}.
Aqui m_{2}=2M, v_{2}=2v e r_{2}=2L.
  • Logo a equação de movimento (resultante para dentro = tensão T_{2}) é
T_{2}=2M\cdot\frac{(2v)^{2}}{2L}.
  • Calculemos passo a passo:
(2v)^{2}=4v^{2},
2M\cdot\frac{4v^{2}}{2L}=\frac{8M v^{2}}{2L}.
  • Simplificando:
T_{2}=\frac{4M v^{2}}{L}.

Passo 4

Equilíbrio dinâmico do bloco 1 (o interno). Identificar forças e escrever a equação.
  • Forças horizontais sobre o bloco 1:
    • Tensão T_{1} do fio fixo, apontando para o centro.
    • A tensão T_{2} exercida pelo bloco 2 sobre o bloco 1, que aponta para fora (oposta à T_{2} que atua em 2).
  • A força resultante apontando para o centro sobre o bloco 1 é, portanto, T_{1}-T_{2}.
  • A força centrípeta necessária para 1 é m_{1} v_{1}^{2}/r_{1} com m_{1}=M, v_{1}=v, r_{1}=L. Assim:
T_{1}-T_{2}=M\cdot\frac{v^{2}}{L}.
  • Isolando T_{1}:
T_{1}=M\frac{v^{2}}{L}+T_{2}.
  • Substituindo o valor de T_{2} (obtido no Passo 3):
T_{1}=M\frac{v^{2}}{L}+\frac{4M v^{2}}{L}.
  • Somando os termos:
T_{1}=\frac{5M v^{2}}{L}.

Passo 5

Verificação rápida de coerência e interpretação curta para te dar confiança.
  • Unidade: \dfrac{M v^{2}}{L} tem unidade de força — coerente.
  • Intuição: T_{1} tem que ser maior que T_{2} porque além de sustentar a própria necessidade centrípeta do bloco 1 ele ainda tem que fornecer a força que mantém 2 em sua trajetória (através de T_{2}). Aqui T_{1}=\dfrac{5M v^{2}}{L} e T_{2}=\dfrac{4M v^{2}}{L}, o que faz sentido.

Resposta

T_{1}=\frac{5M v^{2}}{L}

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