1. Um objeto de massa m preso a um fio de comprimento L é posto para girar em um círculo vertical. O módulo da velocidade do objeto ao passar pelo ponto A é v e ao passar pelo ponto B é 3 v. Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local é g determine a diferença entre as tensões no fio nos pontos B e A ( \mathrm{T}_{\mathrm{B}}-\mathrm{T}_{\mathrm{A}} ). No ponto A , o fio forma um ângulo \theta com a vertical. (Faça o diagrama de corpo livre do objeto nos pontos A e B; expresse sua resposta em termos de v, m, \theta, L e g ).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a diferença entre as tensões no fio nos pontos A e B, isto é \,T_B-T_A. As informações fornecidas são:
  • Massa do objeto: m.
  • Comprimento do fio (raio da trajetória circular): L.
  • No ponto A a velocidade tem módulo v (escrito \,v_A=v).
  • No ponto B a velocidade tem módulo 3v (escrito \,v_B=3v).
  • A aceleração da gravidade tem módulo g.
  • No ponto A o fio forma um ângulo \theta com a vertical.
    O que se pede: uma expressão para \,T_B-T_A em termos de \,v,m,\theta,L,g.

Passo 2

Desenho e forças (diagrama de corpo livre) — explicação pedagógica:
  • Em qualquer ponto da trajetória circular o corpo está submetido a duas forças: a tensão do fio \,T (apontando ao longo do fio, para o centro da circunferência) e o peso \,m g (vertical para baixo).
  • Para aplicar as equações de movimento na direção radial (a direção que vai do objeto para o centro), projetamos o peso nessa direção radial. No ponto A o ângulo entre a vertical e o fio é \theta, então a componente do peso na direção radial (em direção ao centro) tem módulo \,m g\cos\theta.
  • No ponto B (ponto mais baixo) o fio é vertical; a componente radial do peso é simplesmente \,m g apontando para fora do centro (isto determina o sinal quando escrevemos a soma das forças).
  • Lembrete importante (fórmula usada): para movimento circular uniforme ou não-uniforme, a aceleração radial (centrípeta) tem módulo \,a_r=\dfrac{v^2}{L}, dirigida para o centro. Essa aceleração aparece na segunda lei de Newton aplicada na direção radial:
\sum F_{\text{radial}} = m \, a_r = m \frac{v^2}{L}.

Passo 3

Equação do equilíbrio dinâmico (segunda lei) no ponto A — detalhamento:
  • Escolhemos como positivo a direção apontando para o centro. As forças com componente nessa direção são:
    • Tensão T_A (aponta para o centro): contribuição +T_A.
    • Componente do peso na direção do centro: como a componente do peso que aponta para o centro tem módulo m g\cos\theta, essa contribuição é -m g\cos\theta? (atenção ao sinal: o peso aponta para baixo; o componente na direção para o centro tem sentido para o centro se o centro estiver “abaixo” do ponto; com a convenção adotada, a soma algébrica fica T_A - m g\cos\theta). Portanto a soma das forças na direção radial é
T_A - m g\cos\theta = m\frac{v_A^2}{L}.
  • Isolando T_A obtemos
T_A = m\frac{v_A^2}{L} + m g\cos\theta.
  • Como no enunciado v_A=v, podemos escrever (mas guardamos essa substituição para o passo da diferença).

Passo 4

Equação do equilíbrio dinâmico no ponto B — detalhamento:
  • No ponto B (fundo do círculo) a direção radial para o centro é vertical para cima. Tomando para cima (direção ao centro) como positiva, as forças na direção radial são:
    • Tensão T_B para cima: contribuição +T_B.
    • Peso m g para baixo: contribuição -m g.
  • Aplicando a segunda lei na direção radial:
T_B - m g = m\frac{v_B^2}{L}.
  • Isolando T_B obtemos
T_B = m\frac{v_B^2}{L} + m g.

Passo 5

Substituir v_A e v_B e calcular \,T_B-T_A:
  • Das fórmulas do Passo 3 e Passo 4:
T_B - T_A = \left(m\frac{v_B^2}{L} + m g\right) - \left(m\frac{v_A^2}{L} + m g\cos\theta\right).
  • Agrupando termos:
T_B - T_A = m g(1-\cos\theta) + m\frac{v_B^2 - v_A^2}{L}.
  • Agora usamos os valores dados \,v_A=v e \,v_B=3v. Então
v_B^2 - v_A^2 = (3v)^2 - v^2 = 9v^2 - v^2 = 8v^2.
  • Substituindo,
T_B - T_A = m g(1-\cos\theta) + m\frac{8v^2}{L}.

Passo 6

Interpretação e comentário didático:
  • A expressão final tem duas partes claras: m g(1-\cos\theta) vem da diferença das componentes do peso na direção radial entre B e A; e m\frac{8v^2}{L} vem da diferença das forças centrípetas exigidas pelas velocidades diferentes nos dois pontos.
  • Observação extra (opcional): as velocidades dadas também devem satisfazer conservação de energia entre A e B, o que dá uma relação entre v, g, L e \theta. Essa verificação não foi necessária para obter \,T_B-T_A, mas serve de checagem de consistência.

Resposta

T_B - T_A = m g(1-\cos\theta) + m\frac{8v^2}{L}.

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