- Um objeto de massa
preso a um fio de comprimento
é posto para girar em um círculo vertical. O módulo da velocidade do objeto ao passar pelo ponto A é v e ao passar pelo ponto B é
. Sabendo que o módulo da aceleração da gravidade local é
determine a diferença entre as tensões no fio nos pontos B e A (
). No ponto A , o fio forma um ângulo
com a vertical. (Faça o diagrama de corpo livre do objeto nos pontos A e B; expresse sua resposta em termos de
e
).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a diferença entre as tensões no fio nos pontos A e B, isto é
. As informações fornecidas são:
- Massa do objeto:
. - Comprimento do fio (raio da trajetória circular):
. - No ponto A a velocidade tem módulo
(escrito ). - No ponto B a velocidade tem módulo
(escrito ). - A aceleração da gravidade tem módulo
. - No ponto A o fio forma um ângulo
com a vertical.
O que se pede: uma expressão paraem termos de .
Passo 2
Desenho e forças (diagrama de corpo livre) — explicação pedagógica:
- Em qualquer ponto da trajetória circular o corpo está submetido a duas forças: a tensão do fio
(apontando ao longo do fio, para o centro da circunferência) e o peso (vertical para baixo). - Para aplicar as equações de movimento na direção radial (a direção que vai do objeto para o centro), projetamos o peso nessa direção radial. No ponto A o ângulo entre a vertical e o fio é
, então a componente do peso na direção radial (em direção ao centro) tem módulo . - No ponto B (ponto mais baixo) o fio é vertical; a componente radial do peso é simplesmente
apontando para fora do centro (isto determina o sinal quando escrevemos a soma das forças). - Lembrete importante (fórmula usada): para movimento circular uniforme ou não-uniforme, a aceleração radial (centrípeta) tem módulo
, dirigida para o centro. Essa aceleração aparece na segunda lei de Newton aplicada na direção radial:
Passo 3
Equação do equilíbrio dinâmico (segunda lei) no ponto A — detalhamento:
- Escolhemos como positivo a direção apontando para o centro. As forças com componente nessa direção são:
- Tensão
(aponta para o centro): contribuição . - Componente do peso na direção do centro: como a componente do peso que aponta para o centro tem módulo
, essa contribuição é ? (atenção ao sinal: o peso aponta para baixo; o componente na direção para o centro tem sentido para o centro se o centro estiver “abaixo” do ponto; com a convenção adotada, a soma algébrica fica ). Portanto a soma das forças na direção radial é
- Tensão
- Isolando
obtemos
- Como no enunciado
, podemos escrever (mas guardamos essa substituição para o passo da diferença).
Passo 4
Equação do equilíbrio dinâmico no ponto B — detalhamento:
- No ponto B (fundo do círculo) a direção radial para o centro é vertical para cima. Tomando para cima (direção ao centro) como positiva, as forças na direção radial são:
- Tensão
para cima: contribuição . - Peso
para baixo: contribuição .
- Tensão
- Aplicando a segunda lei na direção radial:
- Isolando
obtemos
Passo 5
Substituir
e
e calcular
:
- Das fórmulas do Passo 3 e Passo 4:
- Agrupando termos:
- Agora usamos os valores dados
e . Então
- Substituindo,
Passo 6
Interpretação e comentário didático:
- A expressão final tem duas partes claras:
vem da diferença das componentes do peso na direção radial entre B e A; e vem da diferença das forças centrípetas exigidas pelas velocidades diferentes nos dois pontos. - Observação extra (opcional): as velocidades dadas também devem satisfazer conservação de energia entre A e B, o que dá uma relação entre
, , e . Essa verificação não foi necessária para obter , mas serve de checagem de consistência.