Um bloco (1) de massa igual a M está preso a um fio, de comprimento L_{1}, que está fixo na outra extremidade. Um segundo bloco (2), de massa 2 M, está ligado ao primeiro por um fio de comprimento L_{2}\left(L_{2}=L_{1}=L\right), Os blocos giram num círculo horizontal sobre uma mesa sem atrito. O módulo da velocidade do bloco 1 é v e o módulo da velocidade do bloco 2 é 2 v. Determine, em função de M, v e L,
a tensão no fio de comprimento L_{2}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede, e também o que peguei da figura:
  • Massas: o bloco 1 tem massa \,M, o bloco 2 tem massa \,2M.
  • Comprimentos dos fios: \,L_{1}=L_{2}=L.
  • Velocidades (módulos): o bloco 1 tem velocidade \,v e o bloco 2 tem velocidade \,2v.
  • O movimento é circular horizontal sem atrito, o que significa que a única força horizontal relevante para cada bloco é a tensão nos fios.
  • O enunciado pede: determinar a tensão no fio de comprimento \,L_{2} (ou seja, a tensão que age entre o bloco 1 e o bloco 2), em função de \,M,\;v e \,L.
Da figura peguei que as distâncias ao centro são: o bloco 1 está a distância \,r_{1}=L_{1} do pivô central e o bloco 2 está a distância \,r_{2}=L_{1}+L_{2} do pivô. Com \,L_{1}=L_{2}=L isso dá \,r_{1}=L e \,r_{2}=2L.

Passo 2

Conceito físico que vamos usar (explicado devagar):
  • Num movimento circular uniforme a aceleração centrípeta tem módulo \,a_{c}=\dfrac{v^{2}}{r}, dirigida para o centro.
  • A segunda lei de Newton na direção radial (para cada bloco) diz que a soma das forças radiais resultantes aponta para o centro e vale \,m a_{c}=m\dfrac{v^{2}}{r}.
  • Portanto, para um bloco que gira em raio \,r com velocidade \,v, a força radial necessária é \,F_{c}=m\dfrac{v^{2}}{r}. Essa força é fornecida pelas tensões dos fios (ou combinações delas), dependendo de como o bloco está preso.

Passo 3

Aplicando isso ao bloco 2 (o que está ligado ao bloco 1 pelo fio de comprimento \,L_{2}):
  • Massa do bloco 2: \,m_{2}=2M.
  • Velocidade do bloco 2: \,v_{2}=2v.
  • Raio do movimento do bloco 2: \,r_{2}=L_{1}+L_{2}=2L (peguei \,r_{2} da figura e usei \,L_{1}=L_{2}=L).
A força radial necessária para manter o bloco 2 em movimento circular é
F_{c2}=m_{2}\,\frac{v_{2}^{2}}{r_{2}}.
Agora substituímos os valores passo a passo:
v_{2}^{2}=(2v)^{2}=4v^{2},
m_{2}v_{2}^{2}=2M\cdot 4v^{2}=8Mv^{2},
F_{c2}=\frac{8Mv^{2}}{r_{2}}=\frac{8Mv^{2}}{2L}.
Simplificando:
F_{c2}=\frac{4Mv^{2}}{L}.

Passo 4

Interpretação física e vínculo com a tensão no fio L_{2}:
  • O bloco 2 só recebe força radial para dentro por meio da tensão no fio \,L_{2} (o fio puxa o bloco 2 para o centro). Assim, a tensão no fio \,L_{2} tem módulo igual à força centrípeta exigida para o bloco 2.
  • Logo a tensão no fio de comprimento \,L_{2}, que chamaremos de \,T, é
T=F_{c2}=\frac{4Mv^{2}}{L}.
(A título de checagem—não pedido, mas útil para entender—pode-se escrever a equação radial para o bloco 1: a tensão do fio do pivô menos \,T deve igualar M v^{2}/r_{1}=M v^{2}/L; isso apenas mostra consistência entre as forças, e não altera o valor de \,T obtido acima.)

Resposta

\displaystyle \frac{4Mv^{2}}{L}

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