Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A aceleração máxima do bloco.
A aceleração máxima do bloco.
Passo 1
O enunciado dá: um bloco de massa
desliza sem atrito sobre uma mesa e está preso a uma mola de constante
. Em
a mola está relaxada (ou seja, deslocamento inicial
) e o bloco tem velocidade inicial
. A pergunta é: determinar a aceleração máxima do bloco.
Passo 2
Ideia física central (explicada passo a passo): como não há atrito, a energia mecânica se conserva. No instante inicial toda a energia é cinética do bloco; no ponto de máxima compressão/elongação da mola (amplitude) a velocidade é zero e toda a energia foi transferida para a energia potencial elástica da mola. Escrevemos formula para a energia cinética inicial:
Aqui
é a massa (em kg) e
é a velocidade (em m/s).
Passo 3
No extremo do movimento (deslocamento máximo que chamamos de
) a energia é a potencial elástica da mola:
Aqui
é a constante elástica (em N/m) e
é a amplitude (em m). Pela conservação de energia,
Cancelando
dos dois lados e isolando
obtemos
Expliquei: multiplicar a velocidade por
dá a amplitude neste tipo de problema porque energia cinética inicial vira energia elástica máxima.
Passo 4
Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Primeiro calculamos o fator
:
Portanto a amplitude é
Passo 5
Agora relacionamos aceleração com deslocamento na mola. A força da mola é dada pela lei de Hooke:
onde
é o deslocamento da posição de equilíbrio e o sinal negativo indica que a força é sempre dirigida para o ponto de equilíbrio. Pela segunda lei de Newton
, logo
Isto significa que a aceleração máxima em módulo ocorre quando
, então o módulo da aceleração máxima é
Outra forma equivalente é usar a frequência angular
e
; é o mesmo resultado.
Passo 6
Calculamos agora numericamente
e
:
Multiplicando pela amplitude
,
Comentário final (rápido e motivador): portanto a aceleração máxima em módulo é
. O sinal seria negativo quando o deslocamento
é positivo (indicando que a aceleração aponta para o equilíbrio), mas normalmente reportamos a magnitude quando a questão pede “aceleração máxima”.