Um bloco de massa m = 5,0 kg desliza sobre uma mesa horizontal sem atrito, puxado por uma mola de constante elástica k = 500 N/m. Em t = 0, a mola está relaxada e o bloco tem velocidade v = 10,0 m/s. Determine:
A aceleração máxima do bloco.

Passo 1

O enunciado dá: um bloco de massa m=5{,}0\\ \mathrm{kg} desliza sem atrito sobre uma mesa e está preso a uma mola de constante k=500\\ \mathrm{N/m}. Em t=0 a mola está relaxada (ou seja, deslocamento inicial x(0)=0) e o bloco tem velocidade inicial v(0)=10{,}0\\ \mathrm{m/s}. A pergunta é: determinar a aceleração máxima do bloco.

Passo 2

Ideia física central (explicada passo a passo): como não há atrito, a energia mecânica se conserva. No instante inicial toda a energia é cinética do bloco; no ponto de máxima compressão/elongação da mola (amplitude) a velocidade é zero e toda a energia foi transferida para a energia potencial elástica da mola. Escrevemos formula para a energia cinética inicial:
E_{\text{cin},i}=\tfrac{1}{2}m v^2.
Aqui m é a massa (em kg) e v é a velocidade (em m/s).

Passo 3

No extremo do movimento (deslocamento máximo que chamamos de A) a energia é a potencial elástica da mola:
E_{\text{mol}}=\tfrac{1}{2}k A^2.
Aqui k é a constante elástica (em N/m) e A é a amplitude (em m). Pela conservação de energia,
\tfrac{1}{2}m v^2=\tfrac{1}{2}k A^2.
Cancelando \tfrac{1}{2} dos dois lados e isolando A obtemos
m v^2 = k A^2 \quad\Rightarrow\quad A = v\sqrt{\frac{m}{k}}.
Expliquei: multiplicar a velocidade por \sqrt{m/k} dá a amplitude neste tipo de problema porque energia cinética inicial vira energia elástica máxima.

Passo 4

Agora substituímos os valores numéricos passo a passo. Primeiro calculamos o fator \sqrt{m/k}:
\frac{m}{k}=\frac{5{,}0}{500}=0{,}01,
\sqrt{\frac{m}{k}}=\sqrt{0{,}01}=0{,}1.
Portanto a amplitude é
A = v\sqrt{\frac{m}{k}} = 10{,}0\times 0{,}1 = 1{,}0\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Agora relacionamos aceleração com deslocamento na mola. A força da mola é dada pela lei de Hooke:
F=-k x,
onde x é o deslocamento da posição de equilíbrio e o sinal negativo indica que a força é sempre dirigida para o ponto de equilíbrio. Pela segunda lei de Newton F=ma, logo
m a = -k x \quad\Rightarrow\quad a = -\frac{k}{m}\,x.
Isto significa que a aceleração máxima em módulo ocorre quando |x|=A, então o módulo da aceleração máxima é
a_{\max}=\frac{k}{m}\,A.
Outra forma equivalente é usar a frequência angular \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} e a_{\max}=\omega^2 A; é o mesmo resultado.

Passo 6

Calculamos agora numericamente \frac{k}{m} e a_{\max}:
\frac{k}{m}=\frac{500}{5{,}0}=100\\ \mathrm{s^{-2}}.
Multiplicando pela amplitude A=1{,}0\\ \mathrm{m},
a_{\max}=\frac{k}{m}\,A = 100\times 1{,}0 = 100\\ \mathrm{m/s^2}.
Comentário final (rápido e motivador): portanto a aceleração máxima em módulo é 100\\ \mathrm{m/s^2}. O sinal seria negativo quando o deslocamento x é positivo (indicando que a aceleração aponta para o equilíbrio), mas normalmente reportamos a magnitude quando a questão pede “aceleração máxima”.

Resposta

100\\ \mathrm{m/s^2}

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