Um bloco de massa 4 kg está sobre um plano inclinado de 30 。 em relação à horizontal. O bloco está preso a uma mola ideal, cuja constante elástica é k=100 N/m. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é 0,2. O bloco é deslocado 20 cm para cima ao longo do plano a partir da posição de equilíbrio e então solto.

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é o seguinte: um bloco de 4 kg escorrega num plano inclinado de 30° e está preso a uma mola de constante ,N/m. O coeficiente de atrito cinético é . A mola tem um ponto de equilíbrio (onde as forças se equilibram) e a gente puxa o bloco 20 cm para cima desse ponto, soltando em seguida.
Conteúdo: Energia potencial elástica, trabalho da gravidade, trabalho da força de atrito cinético e conservação de energia mecânica.
O que vamos precisar:
  • Identificar a posição de equilíbrio (sem atrito, só gravidade versus mola).
  • Usar a conservação de energia (incluindo trabalho dissipado por atrito) entre a posição inicial e a máxima extensão para baixo.
  • Resolver a equação resultante para achar o deslocamento máximo para baixo, .

Passo 2

Primeiro, qual é o ponto de equilíbrio da mola sem atrito?
Nesse ponto, a força elástica k,x0 = m g sin30° Longrightarrow x0 = m g ,sin30°k = 4cdot9,8cdot0,5100 =0,196 m equilibra exatamente o componente do peso ao longo do plano, .
Logo
Mas a gente não precisa do valor numérico de pra entrar na conta de energia — vamos medir tudo em relação a esse ponto.

Passo 3

Agora, definimos:
  • Posição inicial = 12,k,(0,20)^2 ;+; mgsin30°,(0,20 + A) ;-; mu,mgcos30°,(0,20 + A) ;=; 12,k,A^2 m acima do equilíbrio.
  • Posição final extrema = m abaixo do equilíbrio (é isso que queremos achar).
    Entre essas duas posições, ocorrem:
  1. Variação de energia elástica da mola
  2. Trabalho da gravidade ao longo do deslocamento
  3. Trabalho (negativo) do atrito .
Escrevendo a conservação de energia:
energia elástica inicial + trabalho das forças não-elásticas = energia elástica final

Passo 4

Vamos colocar números:
  • 2,0 + l(19,6 - 6,79r),(0,20 + A) = 50,A^2, J.
  • 2 + 12,81,(0,20 + A) = 50,A^2 ;Longrightarrow; 2 + 2,562 +12,81A = 50A^2 ;Longrightarrow; 50A^2 -12,81A -4,562 =0 N.
  • A = 12,81 pm raiz12,81^2 + 4cdot50cdot4,5622cdot50 approx 12,81 pm 32,80100 N.
Então a equação vira
A approx 12,81 + 32,80100 = 0,456 m
pois .
Compute .
Logo
É uma equação quadrática . Usando a fórmula de Bhaskara:
Desconsideramos a raiz negativa e ficamos com

Resposta

O bloco vai descer até aproximadamente 0,456 m abaixo da posição de equilíbrio antes de parar e voltar.

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