Um bloco, de massa 4 kg e velocidade v, desliza sobre uma superfície sem atrito e colide com uma mola horizontal, a qual requer 6,4 N para uma compressão de 2 cm . O bloco comprime a mola por uma distância de 8 cm , medida a partir da sua posição de relaxamento. (b) Supondo agora que exista atrito entre o bloco e a superfície ( mue=0,6, muc=0,4 ), qual é a distância máxima de compressão da mola se o valor da velocidade do bloco no momento da colisão é igual ao encontrado no item (a)?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo um bloco que bate numa mola. A massa do bloco é 4 kg e ele tem uma certa velocidade $ v $. A mola precisa de 6,4 N para ser comprimida em 2 cm. No item (b), queremos saber qual é a distância máxima que a mola vai se comprimir quando existe atrito entre o bloco e a superfície, com os coeficientes de atrito $ \mu_e = 0,6 $ e $ \mu_c = 0,4 $. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de energia, leis de Newton e a fórmula da mola. Vamos com calma passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos achar a constante elástica da mola, conhecida como $ k $. Sabemos que a força $ F $ necessária para comprimir a mola em uma distancia $ x $ é dada por Hooke:
k
Temos que $ F = 6,4 , N $ e $ x = 2 , cm = 0,02 , m $. Substituindo na equação:
F
Agora, isolamos $ k $:
x
Então, a constante elástica da mola é $ k = 320 , N/m $.

Passo 3

Agora, precisamos considerar a energia envolvida quando o bloco comprime a mola. A energia cinética inicial do bloco será convertida na energia potencial elástica da mola e no trabalho realizado contra o atrito. A fórmula da energia cinética é:
Ecinética = 12 m v^2 é
E a energia potencial da mola é:
Eelástica = 12 k x^2 á
Além disso, o trabalho contra o atrito é dado por:
Watrito = Fatrito times d
onde $ F_{atrito} = \mu F_N $ e $ F_N = m g $.

Passo 4

Vamos calcular o trabalho do atrito. Primeiro, o bloco está se movendo na superfície, então o atrito que atua é o atrito cinético:
Fatrito = muc m g
Substituindo os valores:
Fatrito = 0,4 times 4 times 9,8 = 0,4 times 39,2 = 15,68 , N
Então, o trabalho do atrito é:
Watrito = 15,68 times d
onde $ d $ é a distância que a mola se comprime além da posição de equilíbrio.

Passo 5

Agora, aplicamos o princípio da conservação de energia. A energia cinética inicial do bloco é igual à soma da energia potencial da mola e do trabalho do atrito:
12 m v^2 = 12 k x^2 + 15,68 , d
Sabemos que a mola é comprimida até 8 cm, ou seja, $ x = 0,08 , m $. Mas precisamos encontrar a nova distância máxima de compressão $ d $ considerando o atrito.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação para resolver $ d $:
d
12 m v^2 - 12 k x^2 = 15,68 , d
Mas para encontrar $ d $, precisamos do valor de $ v $, que foi encontrado no item (a). Vamos supor que no item (a), sem atrito, a velocidade $ v $ foi usada para comprimir a mola em 8 cm.

Passo 7

Sem atrito, toda a energia cinética é convertida em energia potencial elástica:
12 m v^2 = 12 k x^2
Resolvendo para $ v $:
v
Substituindo os valores:
v = raizkm x
Então, $ v \approx 0,7155 , m/s $.

Passo 8

Agora, voltando à equação com atrito:
d = 12 times 4 times (0,7155)^2 - 12 times 320 times (0,08)^215,68
Calculando passo a passo:
Primeiro, a energia cinética:
12 times 4 times (0,7155)^2 = 2 times 0,5113 approx 1,0226 , J
Depois, a energia potencial da mola:
12 times 320 times (0,08)^2 = 160 times 0,0064 = 1,024 , J
Subtraindo:
1,0226 - 1,024 approx -0,0014 , J
Isso indica que não há compressão adicional além dos 8 cm devido ao atrito, já que a energia cinética é praticamente igual à energia necessária para comprimir a mola sem considerar o atrito.

Resposta

Com a presença do atrito, a distância máxima de compressão da mola permanece aproximadamente 8 cm.

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