Um bloco, de massa 4 kg e velocidade
, desliza sobre uma superfície sem atrito e colide com uma mola horizontal, a qual requer
para uma compressão de 2 cm . O bloco comprime a mola por uma distância de 8 cm , medida a partir da sua posição de relaxamento. (b) Supondo agora que exista atrito entre o bloco e a superfície (
), qual é a distância máxima de compressão da mola se o valor da velocidade do bloco no momento da colisão é igual ao encontrado no item (a)?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de física envolvendo um bloco que bate numa mola. A massa do bloco é 4 kg e ele tem uma certa velocidade $ v $. A mola precisa de 6,4 N para ser comprimida em 2 cm. No item (b), queremos saber qual é a distância máxima que a mola vai se comprimir quando existe atrito entre o bloco e a superfície, com os coeficientes de atrito $ \mu_e = 0,6 $ e $ \mu_c = 0,4 $. Para resolver isso, a gente vai precisar usar conceitos de energia, leis de Newton e a fórmula da mola. Vamos com calma passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos achar a constante elástica da mola, conhecida como $ k $. Sabemos que a força $ F $ necessária para comprimir a mola em uma distancia $ x $ é dada por Hooke:
Temos que $ F = 6,4 , N $ e $ x = 2 , cm = 0,02 , m $. Substituindo na equação:
Agora, isolamos $ k $:
Então, a constante elástica da mola é $ k = 320 , N/m $.
Passo 3
Agora, precisamos considerar a energia envolvida quando o bloco comprime a mola. A energia cinética inicial do bloco será convertida na energia potencial elástica da mola e no trabalho realizado contra o atrito. A fórmula da energia cinética é:
E a energia potencial da mola é:
Além disso, o trabalho contra o atrito é dado por:
onde $ F_{atrito} = \mu F_N $ e $ F_N = m g $.
Passo 4
Vamos calcular o trabalho do atrito. Primeiro, o bloco está se movendo na superfície, então o atrito que atua é o atrito cinético:
Substituindo os valores:
Então, o trabalho do atrito é:
onde $ d $ é a distância que a mola se comprime além da posição de equilíbrio.
Passo 5
Agora, aplicamos o princípio da conservação de energia. A energia cinética inicial do bloco é igual à soma da energia potencial da mola e do trabalho do atrito:
Sabemos que a mola é comprimida até 8 cm, ou seja, $ x = 0,08 , m $. Mas precisamos encontrar a nova distância máxima de compressão $ d $ considerando o atrito.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação para resolver $ d $:
Mas para encontrar $ d $, precisamos do valor de $ v $, que foi encontrado no item (a). Vamos supor que no item (a), sem atrito, a velocidade $ v $ foi usada para comprimir a mola em 8 cm.
Passo 7
Sem atrito, toda a energia cinética é convertida em energia potencial elástica:
Resolvendo para $ v $:
Substituindo os valores:
Então, $ v \approx 0,7155 , m/s $.
Passo 8
Agora, voltando à equação com atrito:
Calculando passo a passo:
Primeiro, a energia cinética:
Depois, a energia potencial da mola:
Subtraindo:
Isso indica que não há compressão adicional além dos 8 cm devido ao atrito, já que a energia cinética é praticamente igual à energia necessária para comprimir a mola sem considerar o atrito.
Resposta
Com a presença do atrito, a distância máxima de compressão da mola permanece aproximadamente 8 cm.