A posição de uma partícula é dada por
, com
em segundos. Qual é (a) a frequência; (b) o período e © a amplitude do movimento da partícula? (d) Qual o primeiro instante, depois de
, em que a partícula está na posição de equilíbrio? Em que sentido a partícula se desloca neste instante? (e) Qual a velocidade máxima da partícula? (f) Qual a sua aceleração máxima? Resp.: a)
b)
; d)
, para esquerda; e)
)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a posição de uma partícula descrita pela função $ \boldsymbol{x}(\boldsymbol{t}) = (7 , cm) \cos(6\pi , t) $, onde $ t $ está em segundos. A matéria que vamos usar aqui é o Movimento Harmônico Simples (MHS). Para resolver as partes do exercício, precisaremos entender conceitos como frequência, período, amplitude, posição de equilíbrio, velocidade máxima e aceleração máxima no contexto do MHS.
Passo 2
a) Frequência ($ f $)
A frequência é o número de oscilações que a partícula faz por segundo. No MHS, ela está relacionada ao coeficiente angular da função cosseno.
A função é $ \cos(6\pi t) $. O termo $ 6\pi $ é igual a $ 2\pi f $, porque a equação geral de MHS é $ \cos(2\pi f t) $.
Então, temos:
Frequência é 3 Hz.
Passo 3
b) Período ($ T $)
O período é o tempo que a partícula leva para completar uma oscilação. Ele é o inverso da frequência.
Arredondando, $ T = 0,33 , s $.
Período é aproximadamente 0,33 segundos.
Passo 4
c) Amplitude ($ A $)
A amplitude é o valor máximo que a posição da partícula alcança a partir da posição de equilíbrio. Na função $ \boldsymbol{x}(t) = (7 , cm) \cos(6\pi t) $, o coeficiente que multiplica o cosseno é a amplitude.
Amplitude é 7 cm.
Passo 5
d) Primeiro instante após $ t = 0 $ na posição de equilíbrio e direção do deslocamento
A posição de equilíbrio ocorre quando $ \cos(6\pi t) = 0 $.
Como a função cosseno está passando de positiva para zero, a partícula está mudando de direção para a esquerda.
O primeiro instante é $ t = \frac{T}{4} = 0,083 , s $ e a partícula se desloca para a esquerda.
Passo 6
e) Velocidade máxima ($ v_{máx} $)
No MHS, a velocidade máxima é dada por:
onde $ \omega $ é a frequência angular. Da função $ \cos(6\pi t) $, sabemos que $ \omega = 6\pi , rad/s $.
Velocidade máxima é $ 42\pi , cm/s $.
Passo 7
f) Aceleração máxima ($ a_{máx} $)
A aceleração máxima no MHS é dada por:
Aproximando $ \pi^2 \approx 9,87 $:
Aceleração máxima é aproximadamente $ 2520 , cm/s^2 $.
Resposta
a) $ f = 3,0 , Hz $;
b) $ T = 0,33 , s $;
c) $ A = 7,0 , cm $;
d) $ t = \frac{T}{4} = 0,083 , s $, deslocando-se para a esquerda;
e) $ v_{máx} = 42\pi , cm/s $;
f) $ a_{máx} \approx 2520 , cm/s^2 $.