Um bloco A de massa 2 M está apoiado em um plano, inclinado de 30^{\circ} com a horizontal. Um segundo bloco ( B ) de massa 4 M está ligado ao primeiro por uma corda que passa por uma polia. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano inclinado vale \frac{\sqrt{3}}{3}. A corda é leve e o atrito com a polia é desprezível. A aceleração da gravidade é g.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Determinar a aceleração de cada bloco (módulo e sentido).
Informações dadas (retiradas do enunciado / figura):
  • Massa do bloco A: 2M.
  • Massa do bloco B: 4M.
  • Plano inclinado com inclinação 30^\circ em relação à horizontal.
  • Coeficiente de atrito cinético entre A e o plano: \mu_k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.
  • A corda é leve e a polia sem atrito.
  • Aceleração da gravidade: g.

Passo 2

Escolher e explicar os eixos e identificar forças sobre cada bloco.
Bloco A (sobre o plano inclinado):
  • Forças relevantes:
    • Peso: (2M)g, dirigido verticalmente para baixo.
    • Força normal: N, perpendicular ao plano.
    • Força de atrito cinético: f_k, de módulo f_k=\mu_k N, cujo sentido é sempre oposto ao movimento relativo entre A e o plano.
    • Tensão da corda: T, paralela ao plano, puxando A para cima ao longo do plano (se B descer, A sobe).
  • Convenção de sinais: tomamos a direção ao longo do plano positiva para cima (no sentido que a corda puxa A se B estiver descendo).
Bloco B (pendurado):
  • Forças relevantes:
    • Peso: (4M)g para baixo.
    • Tensão: T para cima.
  • Convenção de sinais: tomamos a direção para baixo como positiva (assumindo inicialmente que B possa descer).
Explicação rápida dos conceitos usados:
  • Componente do peso de um corpo em um plano inclinado: a componente paralela ao plano é mg\sin\theta (puxa para baixo ao longo do plano) e a componente perpendicular é mg\cos\theta (equilibrada pela normal).
  • Atrito cinético: f_k=\mu_k N, atua sempre oposto ao movimento relativo entre as superfícies.
  • Segunda lei de Newton na forma escalar: soma das componentes das forças = massa × aceleração nesse eixo ( \sum F = m a).

Passo 3

Calcular as componentes e a força de atrito para o bloco A.
Componente do peso de A paralela ao plano (tendência a descer o plano):
(2M)g\sin30^\circ = 2M g \cdot \tfrac{1}{2} = M g.
Componente do peso de A perpendicular ao plano (para determinar N):
(2M)g\cos30^\circ = 2M g \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = M g\sqrt{3}.
Portanto a força normal é
N = M g\sqrt{3}.
Usando \mu_k=\dfrac{\sqrt{3}}{3}, a força de atrito cinético vale
f_k = \mu_k N = \frac{\sqrt{3}}{3}\cdot M g\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}\sqrt{3}}{3} M g = \frac{3}{3} M g = M g.
Observação de sentido: se B descer, A sobe; nesse caso o atrito sobre A atuará no sentido de descer o plano (oposto ao movimento de subida), portanto no sinal das equações abaixo o atrito entra subtraindo da tensão.

Passo 4

Escrever as equações de Newton (uma para A ao longo do plano, outra para B verticalmente).
Para A (eixo positivo: para cima ao longo do plano):
T - \bigl((2M)g\sin30^\circ\bigr) - f_k = (2M)\,a.
Substituindo os valores calculados:
T - M g - M g = 2M a \quad\Rightarrow\quad T - 2M g = 2M a.
Para B (eixo positivo: para baixo):
(4M)g - T = (4M)\,a.

Passo 5

Resolver o sistema de duas equações para a.
Das duas equações:
T - 2M g = 2M a \quad\text{e}\quad 4M g - T = 4M a.
Somando as duas equações para eliminar T:
(T - 2M g) + (4M g - T) = 2M a + 4M a.
No lado esquerdo T cancela:
2M g = 6M a.
Isolando a:
a = \frac{2M g}{6M} = \frac{g}{3}.

Passo 6

Interpretação do resultado e consistência com os sentidos assumidos.
  • Obtivemos a=\dfrac{g}{3} positiva nas convenções escolhidas; portanto a suposição inicial de que o bloco B desce e o bloco A sobe está correta.
  • Sentidos finais: bloco B desce com aceleração de módulo \dfrac{g}{3}; bloco A sobe ao longo do plano com aceleração de módulo \dfrac{g}{3}.
  • Comentário: é curioso (mas ocorreu nos cálculos) que a componente do peso de A paralela ao plano e a força de atrito têm o mesmo valor numérico M g; por isso a soma dessas duas resistências é 2M g, que resulta na relação simples que nos dá a=g/3.

Resposta

a=\dfrac{g}{3} (bloco B desce com aceleração \dfrac{g}{3}; bloco A sobe ao longo do plano com aceleração \dfrac{g}{3}).

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