Dois blocos A e B estão ligados por uma corda que passa por roldanas sem atrito. O bloco A encontra-se sobre uma superfície sem atrito, inclinada de um ângulo \theta com a horizontal e o bloco B sobre uma superfície horizontal também sem atrito. As massas de A e B são, respectivamente, 4 M e 2 M e o módulo da aceleração da gravidade local é g. Determine (a) a aceleração dos blocos (em função de g ) e (b) a tensão na corda que os une (em função de M e g ). Dê suas respostas em função das grandezas M e g que se fizerem necessárias.

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • (a) Determinar a aceleração dos blocos (em função de g).
  • (b) Determinar a tensão na corda que une os blocos (em função de M e g).
Informações dadas (pegar estas da figura/enunciado):
  • Massa do bloco A: 4M.
  • Massa do bloco B: 2M.
  • Superfícies e roldanas são sem atrito (corda sem massa, roldanas ideais).
  • A inclinação forma um ângulo \theta com a horizontal e foi dada a relação \sin\theta=\tfrac{1}{2} (na imagem também aparece \cos\theta=\tfrac{\sqrt{3}}{2}).
  • A gravidade local tem módulo g.
Observações para organizar a resolução (aqui apenas ordenando o que vamos usar; não vou resolver ainda):
  • A corda impõe que a aceleração escalar dos dois blocos tenham o mesmo valor absoluto a (sua direção/ângulo dependem do bloco).
  • Vou assumir inicialmente que o bloco A desce pelo plano inclinado e o bloco B é puxado para a direita; se o resultado der a>0 essa suposição é consistente.

Passo 2

Identificar e desenhar as forças em cada bloco (forças relevantes e suas componentes).
Bloco A (massa 4M), sobre o plano inclinado sem atrito:
  • Peso: força vertical para baixo de módulo 4Mg. Vamos decompor o peso em duas componentes relativas ao plano:
    • Componente paralela ao plano, apontando para baixo ao longo do plano: 4Mg\sin\theta.
    • Componente perpendicular ao plano: 4Mg\cos\theta (sustentada pela normal).
  • Tensão na corda atuando ao longo do plano, no sentido que puxa o bloco para cima do plano: T.
Bloco B (massa 2M), sobre superfície horizontal sem atrito:
  • Peso vertical 2Mg e normal vertical; não há componente horizontal de peso porque a superfície é horizontal.
  • A única força horizontal relevante é a tensão T que puxa o bloco para a direita.
Comentário didático sobre decomposição do peso no plano inclinado:
  • A decomposição é obtida projetando o vetor peso na direção paralela ao plano e na direção perpendicular. A componente paralela tem módulo mg\sin\theta porque o ângulo entre a vertical e a normal ao plano dá essa projeção; é um resultado padrão que vale para qualquer massa sobre um plano inclinado sem atrito.

Passo 3

Escolher e escrever as equações de Newton (segunda lei) para cada bloco, com convenções de sinal.
Convenção de sinais (escolha prática):
  • Para A: positivo no sentido para baixo ao longo do plano (ou seja, se A descer o plano, a>0).
  • Para B: positivo para a direita (sentido em que B se moveria quando puxado por A).
Aplicando \displaystyle \sum F = m a:
Para A (massa 4M), forças ao longo do plano:
  • Força para baixo do plano: 4Mg\sin\theta.
  • Força para cima do plano: T.
    Logo a equação é
4Mg\sin\theta - T = 4M\,a.
Para B (massa 2M), forças horizontais:
  • Apenas T para a direita, positivo pela convenção, então
T = 2M\,a.

Passo 4

Resolver o sistema de equações para a simbolicamente.
Temos as duas equações:
4Mg\sin\theta - T = 4M\,a,
T = 2M\,a.
Substituo a segunda na primeira para eliminar T:
4Mg\sin\theta - 2M\,a = 4M\,a.
Agrupo os termos com a:
4Mg\sin\theta = 4M\,a + 2M\,a = (4M+2M)\,a = 6M\,a.
Isolo a:
a = \frac{4M}{6M}\,g\sin\theta = \frac{4}{6}\,g\sin\theta = \frac{2}{3}\,g\sin\theta.

Passo 5

Substituir o valor de \sin\theta fornecido para obter a aceleração numérica em termos de g.
Foi dado na figura que \sin\theta=\tfrac{1}{2}. Substituindo:
a = \frac{2}{3}\,g\cdot\frac{1}{2} = \frac{2}{6}\,g = \frac{1}{3}\,g.
Portanto a aceleração (módulo) dos blocos é a=\tfrac{1}{3}g. Isto confirma que a suposição de que A desce o plano e B vai para a direita é consistente (pois a>0).

Passo 6

Calcular a tensão T usando T=2M\,a e o valor de a.
Usando a=\tfrac{1}{3}g:
T = 2M \cdot \frac{1}{3}g = \frac{2}{3} M g.
Como verificação, pode-se calcular T a partir da equação de A:
T = 4Mg\sin\theta - 4M a = 4M g\cdot\frac{1}{2} - 4M\cdot\frac{1}{3}g = 2Mg - \frac{4}{3}Mg = \frac{6-4}{3}Mg = \frac{2}{3}Mg,
o que confirma o mesmo resultado.

Passo 7

Interpretação física e checagem final rápida (didática e encorajamento)
  • A massa maior A (4M) puxa o sistema porque seu componente de peso ao longo do plano vence a inércia combinada dos dois blocos; por isso o sistema acelera com a=\tfrac{1}{3}g.
  • Repare que a massa M cancela na expressão da aceleração, então a depende apenas de g e do ângulo (aqui já numérico).
  • Tensão ficou proporcional a M g como esperado nas unidades corretas de força.

Resposta

(a) a=\dfrac{1}{3}\,g
(b) T=\dfrac{2}{3}\,M g

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