Dois blocos A e B estão ligados por uma corda que passa por roldanas sem atrito. O bloco A encontra-se sobre uma superfície sem atrito, inclinada de um ângulo
com a horizontal e o bloco B sobre uma superfície horizontal também sem atrito. As massas de A e B são, respectivamente,
e
e o módulo da aceleração da gravidade local é
. Determine (a) a aceleração dos blocos (em função de
) e (b) a tensão na corda que os une (em função de
e
). Dê suas respostas em função das grandezas
e
que se fizerem necessárias.
Passo 1
O que o enunciado pede:
- (a) Determinar a aceleração dos blocos (em função de
). - (b) Determinar a tensão na corda que une os blocos (em função de
e ).
Informações dadas (pegar estas da figura/enunciado):
- Massa do bloco
: . - Massa do bloco
: . - Superfícies e roldanas são sem atrito (corda sem massa, roldanas ideais).
- A inclinação forma um ângulo
com a horizontal e foi dada a relação (na imagem também aparece ). - A gravidade local tem módulo
.
Observações para organizar a resolução (aqui apenas ordenando o que vamos usar; não vou resolver ainda):
- A corda impõe que a aceleração escalar dos dois blocos tenham o mesmo valor absoluto
(sua direção/ângulo dependem do bloco). - Vou assumir inicialmente que o bloco
desce pelo plano inclinado e o bloco é puxado para a direita; se o resultado der essa suposição é consistente.
Passo 2
Identificar e desenhar as forças em cada bloco (forças relevantes e suas componentes).
Bloco
(massa
), sobre o plano inclinado sem atrito:
- Peso: força vertical para baixo de módulo
. Vamos decompor o peso em duas componentes relativas ao plano: - Componente paralela ao plano, apontando para baixo ao longo do plano:
. - Componente perpendicular ao plano:
(sustentada pela normal).
- Componente paralela ao plano, apontando para baixo ao longo do plano:
- Tensão na corda atuando ao longo do plano, no sentido que puxa o bloco para cima do plano:
.
Bloco
(massa
), sobre superfície horizontal sem atrito:
- Peso vertical
e normal vertical; não há componente horizontal de peso porque a superfície é horizontal. - A única força horizontal relevante é a tensão
que puxa o bloco para a direita.
Comentário didático sobre decomposição do peso no plano inclinado:
- A decomposição é obtida projetando o vetor peso na direção paralela ao plano e na direção perpendicular. A componente paralela tem módulo
porque o ângulo entre a vertical e a normal ao plano dá essa projeção; é um resultado padrão que vale para qualquer massa sobre um plano inclinado sem atrito.
Passo 3
Escolher e escrever as equações de Newton (segunda lei) para cada bloco, com convenções de sinal.
Convenção de sinais (escolha prática):
- Para
: positivo no sentido para baixo ao longo do plano (ou seja, se descer o plano, ). - Para
: positivo para a direita (sentido em que se moveria quando puxado por ).
Aplicando
:
Para
(massa
), forças ao longo do plano:
- Força para baixo do plano:
. - Força para cima do plano:
.
Logo a equação é
Para
(massa
), forças horizontais:
- Apenas
para a direita, positivo pela convenção, então
Passo 4
Resolver o sistema de equações para
simbolicamente.
Temos as duas equações:
Substituo a segunda na primeira para eliminar
:
Agrupo os termos com
:
Isolo
:
Passo 5
Substituir o valor de
fornecido para obter a aceleração numérica em termos de
.
Foi dado na figura que
. Substituindo:
Portanto a aceleração (módulo) dos blocos é
. Isto confirma que a suposição de que
desce o plano e
vai para a direita é consistente (pois
).
Passo 6
Calcular a tensão
usando
e o valor de
.
Usando
:
Como verificação, pode-se calcular
a partir da equação de
:
o que confirma o mesmo resultado.
Passo 7
Interpretação física e checagem final rápida (didática e encorajamento)
- A massa maior
(4M) puxa o sistema porque seu componente de peso ao longo do plano vence a inércia combinada dos dois blocos; por isso o sistema acelera com . - Repare que a massa
cancela na expressão da aceleração, então depende apenas de e do ângulo (aqui já numérico). - Tensão ficou proporcional a
como esperado nas unidades corretas de força.
Resposta
(a)
(b)