Um trenó cheio de estudantes em férias (massa total
) escorrega para baixo numa encosta de montanha cujo ângulo de inclinação é
. Determine, em função dos vetores unitários que se fizerem necessários, o vetor aceleração do trenó quando:
Passo 1
O enunciado dá um trenó de massa
descendo uma encosta com inclinação
e pede o vetor aceleração do trenó em função dos vetores unitários que forem necessários.
Informações relevantes fornecidas:
- Massa do trenó:
. - Inclinação da encosta:
. - A gravidade atua com intensidade
apontando para baixo (vertical). - Pede-se o vetor aceleração (direção e módulo) em função de vetores unitários.
Como o enunciado não especifica atrito, vou apresentar duas situações físicas comuns e úteis para a prova:
- sem atrito (superfície lisa);
- com atrito cinético de coeficiente
(superfície áspera, trenó deslizando).
Passo 2
Definir vetores unitários e decompor forças — isso facilita muito.
Escolhe-se:
-
: vetor unitário apontando para baixo ao longo da rampa (direção do movimento do trenó). -
: vetor unitário normal à superfície, apontando para fora da rampa (perpendicular à rampa).
Explicação didática (por que essas escolhas): ao decompor as forças em eixos paralelos e perpendiculares à superfície, as equações de Newton ficam independentes (uma equação para a componente ao longo da rampa e outra para a componente normal). Isso é padrão para problemas com planos inclinados.
Agora decompondo o peso
nas direções escolhidas:
- componente ao longo da rampa (descendo):
na direção ; - componente normal (empurrando a rampa):
apontando para dentro da rampa, isto é, no sentido .
Portanto, o vetor peso escrito nessas bases é
Passo 3
Força normal e equilíbrio na direção normal.
A força normal
da rampa age na direção
. Se não há aceleração na direção normal (o trenó não penetra nem pula da rampa), a soma das forças normais se anula. Aplicando a segunda lei de Newton na direção
:
Logo
Explicação didática: a normal ajusta-se para cancelar a componente normal do peso quando não há movimento perpendicular; por isso
vale
.
Passo 4
Caso 1 — sem atrito (superfície lisa).
Forças na direção paralela à rampa: apenas a componente do peso
apontando para baixo da rampa. Pela segunda lei na direção
,
Cancelando
,
Como a aceleração é somente na direção da rampa descendente, o vetor aceleração é
Explicação didática: Newton diz que
. Aqui a única força resultante tangencial é
, então a aceleração tangencial é
independentemente de
.
Passo 5
Caso 2 — com atrito cinético de coeficiente
(trenó deslizando).
Modelo do atrito cinético: a força de atrito tem módulo
e aponta sempre contrária ao movimento relativo entre superfícies. Como o trenó desliza para baixo, a força de atrito tangencial aponta para cima da rampa, na direção
.
Usando o valor de
do Passo 3,
Somando forças na direção
(para baixo como positivo),
Cancelando
,
Portanto o vetor aceleração é
Explicação didática: a presença do atrito diminui a componente tangencial resultante. Se
o resultado é positivo (acelera para baixo); se
o valor é negativo (no caso real, se o trenó estiver em repouso isso indica que a força de atrito está impedindo o movimento — aí entra o atrito estático e um limite com
). Para o atrito cinético assumimos que o trenó já está deslizando.
Passo 6
Expressão em componentes cartesianas (opcional, se preferir usar
).
Escolha um sistema com
horizontal para a direita e
vertical para cima, e suponha que a rampa desce para a direita com ângulo
acima da horizontal. O vetor unitário ao longo da rampa, apontando para baixo, é
Assim, no caso sem atrito,
E no caso com atrito cinético,
Passo 7
Comentários finais e dicas práticas para a prova.
- Sempre comece definindo
e . Isso evita confusão de sinais. - Decompose o peso em
(paralelo) e (normal). - Use
se não houver aceleração normal. - Para atrito, aplique
e lembre-se da direção oposta ao movimento. - Se o enunciado perguntar sobre movimento versus repouso, verifique a condição com atrito estático: o trenó permanece preso se a máxima força de atrito estático
for maior que .