Um trenó cheio de estudantes em férias (massa total M ) escorrega para baixo numa encosta de montanha cujo ângulo de inclinação é \alpha. Determine, em função dos vetores unitários que se fizerem necessários, o vetor aceleração do trenó quando:

Passo 1

O enunciado dá um trenó de massa M descendo uma encosta com inclinação \alpha e pede o vetor aceleração do trenó em função dos vetores unitários que forem necessários.
Informações relevantes fornecidas:
  • Massa do trenó: M.
  • Inclinação da encosta: \alpha.
  • A gravidade atua com intensidade g apontando para baixo (vertical).
  • Pede-se o vetor aceleração (direção e módulo) em função de vetores unitários.
Como o enunciado não especifica atrito, vou apresentar duas situações físicas comuns e úteis para a prova:
  1. sem atrito (superfície lisa);
  2. com atrito cinético de coeficiente \mu_k (superfície áspera, trenó deslizando).

Passo 2

Definir vetores unitários e decompor forças — isso facilita muito.
Escolhe-se:
  • \hat{u}_{\parallel}: vetor unitário apontando para baixo ao longo da rampa (direção do movimento do trenó).
  • \hat{u}_{\perp}: vetor unitário normal à superfície, apontando para fora da rampa (perpendicular à rampa).
Explicação didática (por que essas escolhas): ao decompor as forças em eixos paralelos e perpendiculares à superfície, as equações de Newton ficam independentes (uma equação para a componente ao longo da rampa e outra para a componente normal). Isso é padrão para problemas com planos inclinados.
Agora decompondo o peso \vec{W}=M\vec{g} nas direções escolhidas:
  • componente ao longo da rampa (descendo): M g \sin\alpha na direção \hat{u}_{\parallel};
  • componente normal (empurrando a rampa): M g \cos\alpha apontando para dentro da rampa, isto é, no sentido -\hat{u}_{\perp}.
Portanto, o vetor peso escrito nessas bases é
\vec{W} = M g \sin\alpha\,\hat{u}_{\parallel} - M g \cos\alpha\,\hat{u}_{\perp}.

Passo 3

Força normal e equilíbrio na direção normal.
A força normal \vec{N} da rampa age na direção \hat{u}_{\perp}. Se não há aceleração na direção normal (o trenó não penetra nem pula da rampa), a soma das forças normais se anula. Aplicando a segunda lei de Newton na direção \hat{u}_{\perp}:
\sum F_{\perp}=0 \quad\Rightarrow\quad N - M g \cos\alpha = 0.
Logo
N = M g \cos\alpha.
Explicação didática: a normal ajusta-se para cancelar a componente normal do peso quando não há movimento perpendicular; por isso N vale M g \cos\alpha.

Passo 4

Caso 1 — sem atrito (superfície lisa).
Forças na direção paralela à rampa: apenas a componente do peso M g \sin\alpha apontando para baixo da rampa. Pela segunda lei na direção \hat{u}_{\parallel},
M a_{\parallel} = M g \sin\alpha.
Cancelando M,
a_{\parallel} = g \sin\alpha.
Como a aceleração é somente na direção da rampa descendente, o vetor aceleração é
\vec{a} = g \sin\alpha\,\hat{u}_{\parallel}.
Explicação didática: Newton diz que \vec{F}_{\text{resultante}} = M\vec{a}. Aqui a única força resultante tangencial é M g\sin\alpha, então a aceleração tangencial é g\sin\alpha independentemente de M.

Passo 5

Caso 2 — com atrito cinético de coeficiente \mu_k (trenó deslizando).
Modelo do atrito cinético: a força de atrito tem módulo f_k=\mu_k N e aponta sempre contrária ao movimento relativo entre superfícies. Como o trenó desliza para baixo, a força de atrito tangencial aponta para cima da rampa, na direção -\hat{u}_{\parallel}.
Usando o valor de N do Passo 3,
f_k = \mu_k N = \mu_k M g \cos\alpha.
Somando forças na direção \hat{u}_{\parallel} (para baixo como positivo),
M a_{\parallel} = M g \sin\alpha - f_k = M g \sin\alpha - \mu_k M g \cos\alpha.
Cancelando M,
a_{\parallel} = g\big(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha\big).
Portanto o vetor aceleração é
\vec{a} = g\big(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha\big)\,\hat{u}_{\parallel}.
Explicação didática: a presença do atrito diminui a componente tangencial resultante. Se \sin\alpha > \mu_k\cos\alpha o resultado é positivo (acelera para baixo); se \sin\alpha < \mu_k\cos\alpha o valor é negativo (no caso real, se o trenó estiver em repouso isso indica que a força de atrito está impedindo o movimento — aí entra o atrito estático e um limite com \mu_s). Para o atrito cinético assumimos que o trenó já está deslizando.

Passo 6

Expressão em componentes cartesianas (opcional, se preferir usar \hat{i},\hat{j}).
Escolha um sistema com \hat{i} horizontal para a direita e \hat{j} vertical para cima, e suponha que a rampa desce para a direita com ângulo \alpha acima da horizontal. O vetor unitário ao longo da rampa, apontando para baixo, é
\hat{u}_{\parallel} = \cos\alpha\,\hat{i} - \sin\alpha\,\hat{j}.
Assim, no caso sem atrito,
\vec{a} = g\sin\alpha\;(\cos\alpha\,\hat{i} - \sin\alpha\,\hat{j}) = g\sin\alpha\cos\alpha\,\hat{i} - g\sin^2\alpha\,\hat{j}.
E no caso com atrito cinético,
\vec{a} = g\big(\sin\alpha - \mu_k\cos\alpha\big)\,(\cos\alpha\,\hat{i} - \sin\alpha\,\hat{j}).

Passo 7

Comentários finais e dicas práticas para a prova.
  • Sempre comece definindo \hat{u}_{\parallel} e \hat{u}_{\perp}. Isso evita confusão de sinais.
  • Decompose o peso em M g\sin\alpha (paralelo) e M g\cos\alpha (normal).
  • Use N=Mg\cos\alpha se não houver aceleração normal.
  • Para atrito, aplique f_k=\mu_k N e lembre-se da direção oposta ao movimento.
  • Se o enunciado perguntar sobre movimento versus repouso, verifique a condição com atrito estático: o trenó permanece preso se a máxima força de atrito estático \mu_s N for maior que M g\sin\alpha.

Resposta

\displaystyle \vec{a}=g\sin\alpha\,\hat{u}_{\parallel} \quad (sem atrito)
\displaystyle \vec{a}=g\big(\sin\alpha-\mu_k\cos\alpha\big)\,\hat{u}_{\parallel} \quad (com atrito cinético \mu_k)

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