Um bloco de massa m é constituído por um material cujo calor específico é c_{s} encontra-se à temperarura inicial T_{0}, menor do que a temperatura de fusão do material. Este bloco é colocado, a partir de uma velocidade inicial v_{0}, para deslizar sobre uma superfície horizontal. Depois de percorrer uma distância x o bloco pára. Supondo que todo o calor produzido pelo atrito é transferido para o bloco, qual deve ser o valor do calor específico deste material, em função de v_{0} e T_{0}, para que a temperatura do bloco dobre de valor, sem alcançar o ponto de fusão? Resposta: c_{s}=v_{0}^{2} / 2 T_{0}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa precisa. Informações fornecidas:
  • A massa do bloco é m.
  • O calor específico do material é c_{s} (valor que queremos encontrar).
  • A temperatura inicial do bloco é T_{0}, e é dada que T_{0} é menor que a temperatura de fusão (então não há fusão).
  • O bloco parte com velocidade inicial v_{0} e desliza até parar após percorrer uma distância x.
  • Supõe‑se que todo o calor produzido pelo atrito é transferido para o próprio bloco (ou seja, a energia mecânica perdida vai inteiramente para aquecer o bloco).
    O que o enunciado pede:
  • Determinar c_{s} em função de v_{0} e T_{0} tal que a temperatura do bloco dobre (isto é, atinja 2T_{0}), sem que ocorra fusão.

Passo 2

Entendendo a física básica que vamos usar (aula rápida e prática): quando o bloco para, sua energia cinética inicial foi transformada em calor devido ao atrito. A conservação de energia (aplicada neste processo irreversível) diz que a energia mecânica perdida se transforma em energia interna (calor) absorvida pelo bloco. A fórmula da energia cinética inicial é
\frac{1}{2}m v_{0}^{2},
onde m é a massa e v_{0} é a velocidade inicial.

Passo 3

Agora, como relacionar calor com variação de temperatura? Usamos a fórmula do calor recebido por um corpo quando não há mudança de fase:
Q = m\,c_{s}\,\Delta T,
onde:
  • Q é a quantidade de calor absorvida (em joules),
  • m é a massa (em quilogramas),
  • c_{s} é o calor específico (em \mathrm{J/(kg\cdot K)}),
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin, mas a diferença em K é numericamente igual à diferença em °C).
    No nosso problema a temperatura final desejada é 2T_{0}, então a variação é
\Delta T = 2T_{0}-T_{0}=T_{0}.

Passo 4

Igualamos a energia cinética inicial ao calor absorvido (toda a energia cinética vira calor no bloco):
\frac{1}{2}m v_{0}^{2} = m\,c_{s}\,T_{0}.
Aqui expliquei por que a distância x não entra no resultado: x determina apenas quanto atrito fez ao longo do caminho, mas se o bloco parou, o trabalho total da força de atrito é igual à energia cinética inicial — independentemente de como essa energia foi dissipada ao longo de x. Assim podemos usar diretamente a igualdade acima.

Passo 5

Agora fazemos as contas e isolamos c_{s}. Primeiro podemos simplificar dividindo ambos os lados por m (assumindo m\neq 0):
\frac{1}{2} v_{0}^{2} = c_{s}\,T_{0}.
Isolando c_{s} obtemos
c_{s}=\frac{\frac{1}{2}v_{0}^{2}}{T_{0}}=\frac{v_{0}^{2}}{2T_{0}}.
Essa é a expressão procurada. Note que não aparece m nem x, ou seja, para dobrar a temperatura (até 2T_{0}) basta que o calor específico tenha esse valor, independentemente da massa: a massa cancela porque tanto a energia cinética quanto o calor absorvido são proporcionais a m.

Passo 6

Comentários finais e checagem de consistência (pra te deixar mais confiante): a unidade resultante de c_{s} é \mathrm{m^{2}/(s^{2}\cdot K)}, que é equivalente a \mathrm{J/(kg\cdot K)}, como esperado para um calor específico. Também é importante lembrar a hipótese do enunciado: o bloco não alcança o ponto de fusão — se alcançasse, haveria calor latente e a conta mudaria, porque parte da energia iria para a mudança de fase e não só para elevar a temperatura.

Resposta

c_{s}=\dfrac{v_{0}^{2}}{2T_{0}}

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