Qual o ângulo \theta entre os vetores \vec{a}=3 i-4 j e \vec{b}=-2 i+3 k

Passo 1

O enunciado pede o ângulo \theta entre os vetores \vec{a}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j} e \vec{b}=-2\mathbf{i}+3\mathbf{k}.
Informações dadas:
\vec{a}=3\mathbf{i}-4\mathbf{j},\qquad \vec{b}=-2\mathbf{i}+3\mathbf{k}.
Pergunta a responder: qual é o valor de \theta entre esses dois vetores?

Passo 2

Primeiro precisamos escrever os vetores em componentes (x,y,z). Quando um componente não aparece no enunciado, ele vale zero. Logo:
\vec{a}=(3,\,-4,\,0),\qquad \vec{b}=(-2,\,0,\,3).
Agora vou ensinar o produto escalar (dot product): para vetores \vec{u}=(u_x,u_y,u_z) e \vec{v}=(v_x,v_y,v_z), o produto escalar é
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_xv_x+u_yv_y+u_zv_z.
É só multiplicar componentes correspondentes e somar. Aplicando a \vec{a} e \vec{b}:
\vec{a}\cdot\vec{b}=3\cdot(-2)+(-4)\cdot0+0\cdot3=-6+0+0=-6.

Passo 3

Agora precisamos das normas (comprimentos) dos vetores. A fórmula da norma de \vec{v}=(v_x,v_y,v_z) é
\|\vec{v}\|=\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}+v_z^{2}}.
Calculemos \|\vec{a}\|:
\|\vec{a}\|=\sqrt{3^{2}+(-4)^{2}+0^{2}}=\sqrt{9+16+0}=\sqrt{25}=5.
Expliquei: somamos quadrados das componentes e tiramos raiz quadrada.

Passo 4

Calculemos \|\vec{b}\| do mesmo jeito:
\|\vec{b}\|=\sqrt{(-2)^{2}+0^{2}+3^{2}}=\sqrt{4+0+9}=\sqrt{13}.

Passo 5

A relação entre produto escalar e ângulo é fundamental: para vetores \vec{a} e \vec{b},
\vec{a}\cdot\vec{b}=\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|\cos\theta.
Isto é, o cosseno do ângulo entre eles é
\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\,\|\vec{b}\|}.
Substituindo os valores que encontramos:
\cos\theta=\frac{-6}{5\sqrt{13}}.
Esse é um valor exato para \cos\theta. Em prova, se for aceitável deixar a resposta em termos de \operatorname{arccos}, você pode parar aqui; senão, pode calcular a medida de \theta.

Passo 6

Vamos obter um valor numérico aproximado para \theta. Primeiro calcule o número:
5\sqrt{13}\approx 5\cdot 3{,}605551275\approx 18{,}02775638,
\cos\theta\approx \frac{-6}{18{,}02775638}\approx -0{,}332995.
Agora tomamos o arco-cosseno:
\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-0{,}332995\right)\approx 1{,}9106\\ \text{rad}.
Convertendo para graus (multiplicando por \dfrac{180^\circ}{\pi}):
\theta\approx 1{,}9106\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx 109{,}47^\circ.
Arredondei para duas casas decimais; se preferir, mantenha a forma \theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{6}{5\sqrt{13}}\right).

Resposta

\theta=\operatorname{arccos}\!\left(-\dfrac{6}{5\sqrt{13}}\right)\approx 109{,}47^\circ

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