Um bloco de massa
, preso à extremidade de uma corda de comprimento
, descreve uma circunferência vertical com velocidade constante em torno da outra extremidade da corda, mantida fixa. A tensão máxima que a corda pode suportar é
.
a) Determine a velocidade crítica,
, abaixo da qual a corda ficaria frouxa no ponto mais elevado.
b) Qual o valor máximo,
, da velocidade do bloco para que a corda não arrebente?
a) Determine a velocidade crítica,
b) Qual o valor máximo,
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um bloco de massa $ m $ preso numa corda de comprimento $ l $ fazendo um círculo vertical com velocidade constante. A tensão máxima que a corda aguenta é $ T $. Vamos resolver duas partes:
a) Encontrar a velocidade crítica $ v_C $ abaixo da qual a corda fica frouxa no ponto mais alto.
b) Encontrar a velocidade máxima $ v_M $ para a corda não arrebentar.
Para isso, vamos precisar entender um pouco de força centrípeta e tensão na corda.
Passo 2
Vamos começar pela parte a). A gente quer saber a velocidade crítica $ v_C $ onde a corda começa a ficar frouxa no ponto mais alto do movimento circular. No ponto mais alto, as forças que atuam no bloco são:
- A tensão $ T $ da corda, que está para baixo.
- O peso $ mg $, também para baixo.
Quando a corda está frouxa, a tensão $ T $ é zero. Então, para a corda começar a ficar frouxa, a única força que fornece a força centrípeta é o peso do bloco.
A força centrípeta $ F_c $ necessária para manter o bloco em movimento circular é dada por:
No ponto mais alto, se a tensão for zero, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para $ v_C $:
Primeiro, simplificamos $ m $ dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por $ l $:
E tirando a raiz quadrada:
Passo 4
Então, a velocidade crítica $ v_C $ é:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar a velocidade máxima $ v_M $ para que a corda não arrebente. Isso acontece quando a tensão na corda é igual ao máximo que ela pode suportar, ou seja, $ T $.
No ponto mais baixo do movimento circular, a tensão na corda é a maior, porque além de fornecer a força centrípeta, ela também precisa equilibrar o peso do bloco. As forças no ponto mais baixo são:
- A tensão $ T $ para cima.
- O peso $ mg $ para baixo.
A força centrípeta necessária é:
No ponto mais baixo, a tensão $ T $ é:
Passo 6
Vamos resolver para $ v_M $:
Primeiro, isola $ T $:
Subtraindo $ mg $ dos dois lados:
Multiplicando ambos os lados por $ l $:
Dividindo por $ m $:
E tirando a raiz quadrada:
Resposta
a) A velocidade crítica é $ v_C = \sqrt{g , l} $.
b) A velocidade máxima para a corda não arrebentar é $ v_M = \sqrt{\frac{l(T - mg)}{m}} $.