Um bloco de massa M está preso à extremidade de uma mola de constante k. A outra extremidade da mola está presa ao teto. Atira-se uma bala de baixo para cima com velocidade v. A bala possui massa m e fica presa no interior do bloco. Determine o período das oscilações, admitindo um movimento harmônico simples.

Passo 1

O enunciado descreve um bloco de massa M preso a uma mola de constante elástica k, com a outra extremidade fixa no teto. Uma bala de massa m é disparada de baixo para cima com velocidade v e fica presa no bloco. Pede-se o período das oscilações, supondo movimento harmônico simples. Vamos usar a colisão perfeitamente inelástica para obter a massa total e depois a equação padrão do MHS.

Passo 2

Logo após a colisão a bala fica presa no bloco, de modo que o sistema passa a ter massa total
M_{\text{tot}} = M + m.
Embora a colisão dissipe parte da energia, o período do MHS independe da energia inicial e só depende da massa total e da constante da mola.

Passo 3

Para pequenas oscilações em torno da nova posição de equilíbrio, aplicamos a segunda lei de Newton ao conjunto massa-mola:
(M + m)\,\ddot x = -\,k\,x.
Reescrevendo em forma padrão,
\ddot x + \frac{k}{M + m}\,x = 0,
que é a equação do movimento harmônico simples.

Passo 4

A solução dessa equação possui período
T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{k}}.
Observe que T não depende da velocidade v do disparo, pois o período de um MHS é independente da amplitude.

Resposta

O período das oscilações é
T = 2\pi \sqrt{\frac{M + m}{k}}.

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