Um bloco de massa m é puxado para cima em um plano inclinado de ângulo \theta com velocidade constante, percorrendo uma distância d. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é \mu_{c}.
(a) Desenhe o DCL do bloco e identifique todas as forças que realizam trabalho.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força de atrito é dado por W_{f a t}=-\mu_{c} m g d \cos \theta.
(c) Por que o trabalho total realizado sobre o bloco é zero neste caso? Justifique com base no estado de movimento do bloco.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Massa do bloco: m.
    • Plano inclinado com ângulo \theta em relação à horizontal.
    • Bloco é puxado para cima ao longo do plano, deslocamento ao longo da superfície: d.
    • Coeficiente de atrito cinético: \mu_{c}.
    • O bloco se move com velocidade constante (isso é informação importante sobre o movimento).
  • O enunciado pede:
    (a) Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) e identificar todas as forças que realizam trabalho.
    (b) Mostrar que o trabalho da força de atrito é W_{f a t}=-\mu_{c} m g d \cos \theta.
    (c) Explicar por que o trabalho total sobre o bloco é zero, justificando com base no estado de movimento.

Passo 2

Desenho do DCL (descrição verbal precisa e forças atuantes) e quais forças fazem trabalho.
  • Descrição do DCL:
    • Colocar o bloco como um ponto. Traçar o eixo paralelo ao plano (sentido para cima ao longo do plano é positivo) e o eixo perpendicular ao plano.
    • Forças atuantes (colocar vetores no diagrama):
      1. Peso: \vec{P}=m\vec{g} apontando verticalmente para baixo.
      2. Força normal: \vec{N} exercida pelo plano, perpendicular à superfície (para fora do plano).
      3. Força de atrito cinético: \vec{f}_{\text{at}} atuando para baixo ao longo do plano (oposta ao movimento para cima).
      4. Força aplicada (puxando): \vec{F}_{\text{ap}} ao longo do plano, para cima (direção do deslocamento).
  • Quais forças realizam trabalho ao deslocar o bloco uma distância d para cima ao longo da superfície?
    • Trabalho por \vec{F}_{\text{ap}}: realiza trabalho positivo, pois está na direção do deslocamento.
    • Trabalho por \vec{f}_{\text{at}}: realiza trabalho negativo, pois é oposta ao deslocamento.
    • Trabalho por \vec{P} (peso): tem componente ao longo do plano que realiza trabalho (negativo, pois peso tem componente para baixo enquanto deslocamento é para cima).
    • Trabalho por \vec{N} (normal): não realiza trabalho porque \vec{N} é perpendicular ao deslocamento (ângulo 90^\circ), logo o trabalho é zero.
Explicação do porquê: o trabalho de uma força \vec{F} ao deslocar um corpo por um vetor \vec{s} é W=\vec{F}\cdot\vec{s}=F\,s\cos\varphi, onde \varphi é o ângulo entre \vec{F} e \vec{s}. Se \varphi=90^\circ, então \cos\varphi=0 e W=0. Isso explica por que N não faz trabalho.

Passo 3

Cálculo do módulo da força de atrito e do normal — passo necessário para (b).
  • Força normal \vec{N}:
    • Na direção perpendicular ao plano não há aceleração (o bloco não se afasta do plano nem penetra nele). Portanto, a soma das componentes na direção perpendicular é zero:
    N - mg\cos\theta = 0.
    • Assim,
    N = mg\cos\theta.
    Explicação: o peso tem componente perpendicular ao plano igual a mg\cos\theta; o normal equilibra essa componente.
  • Força de atrito cinético (módulo):
    • A força de atrito cinético tem módulo proporcional à normal:
    f_{\text{at}}=\mu_{c} N.
    • Substituindo N:
    f_{\text{at}}=\mu_{c} (mg\cos\theta)=\mu_{c} m g \cos\theta.
    Explicação: essa é a lei empírica do atrito cinético: magnitude igual a coeficiente vezes normal.

Passo 4

Cálculo do trabalho realizado pela força de atrito — derivação pedida em (b).
  • A força de atrito \vec{f}_{\text{at}} aponta no sentido contrário ao deslocamento (ângulo entre \vec{f}_{\text{at}} e o deslocamento é 180^\circ), então o fator \cos\varphi=\cos 180^\circ=-1.
  • O trabalho da força de atrito ao deslocar o bloco uma distância d para cima é:
W_{f a t}=f_{\text{at}}\cdot d\cdot\cos 180^\circ = -f_{\text{at}}\,d.
  • Substituindo f_{\text{at}}=\mu_{c} m g \cos\theta:
W_{f a t} = -\mu_{c} m g \cos\theta \; d.
  • Reescrevendo em ordem habitual:
W_{f a t} = -\mu_{c} m g d \cos\theta.
Isso é exatamente o resultado pedido. Explicação do sinal: negativo porque atrito retira energia do sistema enquanto o deslocamento é para cima.

Passo 5

Complemento: trabalhos das outras forças e relação com a energia cinética (preparando a resposta para (c)).
  • Trabalho do peso (componente ao longo do plano):
    • Componente do peso paralela ao plano: mg\sin\theta dirigida para baixo ao longo do plano.
    • Como o deslocamento é para cima, o trabalho do peso é
    W_{P} = - (mg\sin\theta)\, d = - m g d \sin\theta.
    Explicação: força componente e deslocamento anti-paralelos.
  • Trabalho da força normal:
    W_{N}=0,
    pois \vec{N}\perp\vec{s}.
  • Trabalho da força aplicada \vec{F}_{\text{ap}}:
    • Como o bloco se move com velocidade constante, a aceleração é zero. Na direção paralela ao plano, a soma das forças é zero:
    F_{\text{ap}} - mg\sin\theta - f_{\text{at}} = 0.
    • Logo,
    F_{\text{ap}} = mg\sin\theta + f_{\text{at}} = mg\sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta.
    • O trabalho da força aplicada ao deslocar d para cima é
    W_{\text{ap}} = F_{\text{ap}}\, d = \bigl(mg\sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta\bigr) d.

Passo 6

Soma dos trabalhos e justificativa física de (c).
  • Soma dos trabalhos (total):
    W_{\text{tot}} = W_{\text{ap}} + W_{f a t} + W_{P} + W_{N}.
    Substituindo as expressões:
    W_{\text{tot}} = \bigl(mg\sin\theta + \mu_{c} m g \cos\theta\bigr) d \;+\; \bigl(-\mu_{c} m g \cos\theta \, d\bigr) \;+\; \bigl(-mg\sin\theta\, d\bigr) \;+\; 0.
    Agrupando termos:
    W_{\text{tot}} = mg\sin\theta\, d - mg\sin\theta\, d + \mu_{c} m g \cos\theta\, d - \mu_{c} m g \cos\theta\, d = 0.
    Portanto W_{\text{tot}}=0.
  • Justificativa física usando o Teorema Trabalho-Energia:
    • O Teorema Trabalho-Energia diz que a soma dos trabalhos das forças externas sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo:
    W_{\text{tot}} = \Delta K = K_{\text{final}} - K_{\text{inicial}}.
    • Como o bloco se move com velocidade constante, sua energia cinética não muda, então \Delta K = 0. Logo W_{\text{tot}}=0.
    • Intuição: a força aplicada fornece exatamente a energia por unidade de deslocamento necessária para vencer a componente gravitacional e o atrito; essas perdas (trabalhos negativos) somam-se e anulam o trabalho positivo da força aplicada.

Resposta

(a) Forças no DCL: \vec{P}=m\vec{g} (peso, para baixo), \vec{N} (normal, perpendicular ao plano, para fora), \vec{f}_{\text{at}} (atrito cinético, para baixo ao longo do plano), \vec{F}_{\text{ap}} (força aplicada, para cima ao longo do plano). Fazem trabalho: \vec{F}_{\text{ap}} (positivo), \vec{f}_{\text{at}} (negativo), \vec{P} (negativo); \vec{N} não faz trabalho ( W_N=0).
(b) W_{f a t}=-\mu_{c} m g d \cos \theta.
(c) O trabalho total é zero porque o bloco tem velocidade constante, logo a variação da energia cinética é nula ( \Delta K=0); pelo teorema trabalho-energia W_{\text{tot}}=\Delta K=0.

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