Um bloco de massa
é puxado para cima em um plano inclinado de ângulo
com velocidade constante, percorrendo uma distância
. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e o plano é
.
(a) Desenhe o DCL do bloco e identifique todas as forças que realizam trabalho.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força de atrito é dado por
.
(c) Por que o trabalho total realizado sobre o bloco é zero neste caso? Justifique com base no estado de movimento do bloco.
(a) Desenhe o DCL do bloco e identifique todas as forças que realizam trabalho.
(b) Mostre que o trabalho realizado pela força de atrito é dado por
(c) Por que o trabalho total realizado sobre o bloco é zero neste caso? Justifique com base no estado de movimento do bloco.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados fornecidos:
- Massa do bloco:
. - Plano inclinado com ângulo
em relação à horizontal. - Bloco é puxado para cima ao longo do plano, deslocamento ao longo da superfície:
. - Coeficiente de atrito cinético:
. - O bloco se move com velocidade constante (isso é informação importante sobre o movimento).
- Massa do bloco:
-
O enunciado pede:
(a) Desenhar o Diagrama de Corpo Livre (DCL) e identificar todas as forças que realizam trabalho.
(b) Mostrar que o trabalho da força de atrito é.
(c) Explicar por que o trabalho total sobre o bloco é zero, justificando com base no estado de movimento.
Passo 2
Desenho do DCL (descrição verbal precisa e forças atuantes) e quais forças fazem trabalho.
-
Descrição do DCL:
- Colocar o bloco como um ponto. Traçar o eixo paralelo ao plano (sentido para cima ao longo do plano é positivo) e o eixo perpendicular ao plano.
- Forças atuantes (colocar vetores no diagrama):
- Peso:
apontando verticalmente para baixo. - Força normal:
exercida pelo plano, perpendicular à superfície (para fora do plano). - Força de atrito cinético:
atuando para baixo ao longo do plano (oposta ao movimento para cima). - Força aplicada (puxando):
ao longo do plano, para cima (direção do deslocamento).
- Peso:
-
Quais forças realizam trabalho ao deslocar o bloco uma distância
para cima ao longo da superfície? - Trabalho por
: realiza trabalho positivo, pois está na direção do deslocamento. - Trabalho por
: realiza trabalho negativo, pois é oposta ao deslocamento. - Trabalho por
(peso): tem componente ao longo do plano que realiza trabalho (negativo, pois peso tem componente para baixo enquanto deslocamento é para cima). - Trabalho por
(normal): não realiza trabalho porque é perpendicular ao deslocamento (ângulo ), logo o trabalho é zero.
- Trabalho por
Explicação do porquê: o trabalho de uma força
ao deslocar um corpo por um vetor
é
, onde
é o ângulo entre
e
. Se
, então
e
. Isso explica por que
não faz trabalho.
Passo 3
Cálculo do módulo da força de atrito e do normal — passo necessário para (b).
-
Força normal
: - Na direção perpendicular ao plano não há aceleração (o bloco não se afasta do plano nem penetra nele). Portanto, a soma das componentes na direção perpendicular é zero:
- Assim,
Explicação: o peso tem componente perpendicular ao plano igual a; o normal equilibra essa componente. -
Força de atrito cinético (módulo):
- A força de atrito cinético tem módulo proporcional à normal:
- Substituindo
:
Explicação: essa é a lei empírica do atrito cinético: magnitude igual a coeficiente vezes normal.
Passo 4
Cálculo do trabalho realizado pela força de atrito — derivação pedida em (b).
- A força de atrito
aponta no sentido contrário ao deslocamento (ângulo entre e o deslocamento é ), então o fator . - O trabalho da força de atrito ao deslocar o bloco uma distância
para cima é:
- Substituindo
:
- Reescrevendo em ordem habitual:
Isso é exatamente o resultado pedido. Explicação do sinal: negativo porque atrito retira energia do sistema enquanto o deslocamento é para cima.
Passo 5
Complemento: trabalhos das outras forças e relação com a energia cinética (preparando a resposta para (c)).
-
Trabalho do peso (componente ao longo do plano):
- Componente do peso paralela ao plano:
dirigida para baixo ao longo do plano. - Como o deslocamento é para cima, o trabalho do peso é
Explicação: força componente e deslocamento anti-paralelos. - Componente do peso paralela ao plano:
-
Trabalho da força normal:pois
. -
Trabalho da força aplicada
: - Como o bloco se move com velocidade constante, a aceleração é zero. Na direção paralela ao plano, a soma das forças é zero:
- Logo,
- O trabalho da força aplicada ao deslocar
para cima é
Passo 6
Soma dos trabalhos e justificativa física de (c).
-
Soma dos trabalhos (total):Substituindo as expressões:Agrupando termos:Portanto
. -
Justificativa física usando o Teorema Trabalho-Energia:
- O Teorema Trabalho-Energia diz que a soma dos trabalhos das forças externas sobre um corpo é igual à variação da energia cinética do corpo:
- Como o bloco se move com velocidade constante, sua energia cinética não muda, então
. Logo . - Intuição: a força aplicada fornece exatamente a energia por unidade de deslocamento necessária para vencer a componente gravitacional e o atrito; essas perdas (trabalhos negativos) somam-se e anulam o trabalho positivo da força aplicada.
Resposta
(a) Forças no DCL:
(peso, para baixo),
(normal, perpendicular ao plano, para fora),
(atrito cinético, para baixo ao longo do plano),
(força aplicada, para cima ao longo do plano). Fazem trabalho:
(positivo),
(negativo),
(negativo);
não faz trabalho (
).
(b)
.
(c) O trabalho total é zero porque o bloco tem velocidade constante, logo a variação da energia cinética é nula (
); pelo teorema trabalho-energia
.