Um projétil de massa 20 g atinge um bloco de madeira com uma velocidade de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e penetra uma distância de 15 cm até parar.
(a) Determine a variação da energia cinética do projétil (em Joules).
(b) Utilizando o Teorema Trabalho-Energia, calcule o módulo da força de resistência média exercida pela madeira sobre o projétil.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede duas coisas:
  • Dados:
    • massa do projétil: m=20\\ \text{g}.
    • velocidade inicial do projétil: v=300\\ \text{m/s}.
    • distância percorrida na madeira até parar: d=15\\ \text{cm}.
  • Perguntas:
    (a) Determinar a variação da energia cinética do projétil (em Joules).
    (b) Usando o Teorema Trabalho-Energia, calcular o módulo da força de resistência média exercida pela madeira sobre o projétil.

Passo 2

Converter as unidades para o sistema SI (metros, quilogramas, segundos), porque as fórmulas de energia e força usam SI:
  • Converter massa: 20\\ \text{g} = 0,02\\ \text{kg}. Escrevendo em TeX: m=0,02\\ \text{kg}.
  • Converter distância: 15\\ \text{cm} = 0,15\\ \text{m}. Escrevendo: d=0,15\\ \text{m}.
  • A velocidade já está em SI: v=300\\ \text{m/s}.

Passo 3

Lembrar a fórmula da energia cinética de um corpo em movimento e o que cada símbolo significa:
  • A energia cinética K de um corpo de massa m e velocidade v é dada por
K=\tfrac{1}{2} m v^{2}.
Aqui:
  • \tfrac{1}{2} é a constante da fórmula;
  • m é a massa em quilogramas;
  • v é a velocidade em metros por segundo;
  • K resulta em Joules ( \text{J}) no SI.
Calcular a energia cinética inicial K_i do projétil (quando entra na madeira):
K_i=\tfrac{1}{2}\cdot m\cdot v^{2}=\tfrac{1}{2}\cdot 0,02\cdot 300^{2}.
Fazer as contas passo a passo:
300^{2}=90\,000,
\tfrac{1}{2}\cdot 0,02=0,01,
K_i=0,01\cdot 90\,000=900\\ \text{J}.
O projétil para dentro da madeira, portanto a energia cinética final é K_f=0\\ \text{J}.

Passo 4

Calcular a variação da energia cinética \Delta K, lembrando que \Delta K=K_f-K_i:
\Delta K=K_f-K_i=0-900=-900\\ \text{J}.
Interpretação: a energia cinética diminuiu em 900\\ \text{J}; a variação é negativa porque o projétil perdeu essa energia até parar.

Passo 5

Aplicar o Teorema Trabalho-Energia (explicando bem):
  • Enunciado do teorema: o trabalho total W_{\text{tudo}} realizado sobre um corpo é igual à variação de sua energia cinética:
W_{\text{tudo}}=\Delta K.
  • No caso, assumindo que a principal força que realiza trabalho durante a penetração é a força de resistência média da madeira F_{\text{r}} (oposta ao movimento) atuando ao longo da distância d, o trabalho desta força é (sinal negativo porque é oposta ao deslocamento):
W_{\text{r}}=-F_{\text{r}}\,d.
  • Como não consideramos outras forças que façam trabalho significativo (por exemplo, força gravidade na direção do movimento é desprezível aqui), temos W_{\text{r}}=\Delta K. Então:
- F_{\text{r}}\, d = \Delta K.
Resolver para o módulo da força de resistência média |F_{\text{r}}|. Tomando módulo (ou isolando F_{\text{r}} e lembrando que \Delta K é negativo):
|F_{\text{r}}|=\frac{|\Delta K|}{d}.
Substituir os valores numéricos:
|F_{\text{r}}|=\frac{900}{0,15}=6\,000\\ \text{N}.

Passo 6

Resultado final e checagem rápida de consistência:
  • A energia perdida pelo projétil é 900\\ \text{J}, que foi transformada principalmente em trabalho de deformação e calor na madeira.
  • A força média de resistência de 6\,000\\ \text{N} tem ordem de grandeza razoável para um impacto de alta velocidade sobre curta distância.
Força-sempre positiva no módulo; o sinal negativo do trabalho já apareceu na variação de energia.

Resposta

\Delta K=-900\\ \text{J}
|F_{\text{r}}|=6\,000\\ \text{N}

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