Um bloco de massa M é solto em repouso do ato de um plano inclinado de θ em relação a horizontal. Com coeficiente de atrito contínuo µC. Depois de percorrer uma distância D ao longo do plano, o bloco colhido com uma mola cuja força é K(x-x0)>>mg(senθ-µcosθ) de massa desprezível que se encontra relaxada.
A) qual a compressão máxima da mola?
B) qual a energia dissipada pela força de atrito durante toda a trajetória desde o alto do plano inclinado até a compressão máxima da mola?
C) qual altura do bloco após ser empurrado pela mola?

Passo 1

Vamos lá! Temos um bloco de massa $ M $ que está descendo por um plano inclinado de ângulo $ \theta $ com atrito contínuo de coeficiente $ \mu_C $. Depois de percorrer uma distância $ D $ no plano, ele encontra uma mola que vai comprimir. Vamos resolver as partes A, B e C desse exercício. Para isso, vamos precisar das leis de Newton, dos conceitos de energia e trabalho, e das fórmulas de força e energia potenciais em molas.

Passo 2

Parte A: Qual a compressão máxima da mola?
Primeiro, precisamos entender que quando o bloco comprime a mola, a energia cinética do bloco é transformada na energia armazenada na mola e na energia dissipada pelo atrito. No ponto de compressão máxima, a velocidade do bloco é zero.
Vamos usar a conservação de energia:
Energia total inicial = Energia armazenada na mola + Energia dissipada pelo atrito
A energia inicial é a energia potencial gravitacional que o bloco tinha no início, convertida em energia cinética ao descer o plano e depois transformada na energia da mola e na energia dissipada pelo atrito.
A fórmula para a energia potencial gravitacional é:
U = M g h
Onde $ h = D \sin\theta $ é a altura correspondente à distância $ D $ no plano inclinado.
A energia armazenada na mola é:
h = D sintheta
A energia dissipada pelo atrito é:
D
Então, igualando as energias:
Umola = 12 K xmax^2
Resolvendo para $ x_{max} $:
Eatrito = muC M g costheta times D
M g D sintheta = 12 K xmax^2 + muC M g costheta D
xmax

Passo 3

Resposta A: A compressão máxima da mola é
xmáx = raiz2 M g D (sintheta - muC costheta)K á

Passo 4

Parte B: Qual a energia dissipada pela força de atrito durante toda a trajetória desde o alto do plano inclinado até a compressão máxima da mola?
A energia dissipada pelo atrito já calculamos no passo anterior. Vamos detalhar isso.
A força de atrito $ F_{atrito} $ é dada por:
Fatrito
O trabalho realizado pela força de atrito ao longo da distância $ D $ é:
Fatrito = muC N = muC M g costheta

Passo 5

Resposta B: A energia dissipada pelo atrito é
Edissipada = muC M g costheta times D

Passo 6

Parte C: Qual a altura do bloco após ser empurrado pela mola?
Após a mola empurrar o bloco de volta, ele sobe até uma certa altura $ h $. A energia armazenada na mola será convertida novamente em energia potencial gravitacional, menos a energia dissipada pelo atrito no caminho de volta.
Primeiro, a energia na mola é:
h
Essa energia é usada para elevar o bloco até uma altura $ h $:
Umola = 12 K xmax^2
Onde $ h’ $ é a altura correspondente à subida $ h $. No entanto, se considerarmos que a mola empurra o bloco ao longo do mesmo plano inclinado, a distância percorrida na subida será $ h = h’ / \sin\theta $. Para simplificar, assumiremos que a energia dissipada pelo atrito na subida também é proporcional à altura $ h $:
h
Resolvendo para $ h $:
M g h = 12 K xmax^2 - muC M g costheta times h'
h'
h
Substituindo $ x_{max} $ da parte A:
h = h' / sintheta
Simplificando:
h

Passo 7

Resposta C: A altura alcançada pelo bloco após ser empurrado pela mola é
h = D (sintheta - muC costheta)1 + muC cottheta

Resposta

A compressão máxima da mola é
xmáx = raiz2 M g D (sintheta - muC costheta)K á
A energia dissipada pelo atrito durante toda a trajetória é
Edissipada = muC M g costheta times D
A altura alcançada pelo bloco após ser empurrado pela mola é
h = D (sintheta - muC costheta)1 + muC cottheta

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