Um bloco de massa m1 está amarrado a um cordão de comprimento L1 fixo por uma extremidade. O bloco se move em um circulo horizontal sobre uma mesa sem atrito. Um segundo bloco de massa m2 é preso ao primeiro por um cordão de comprimento L2, e também se move em um circulo sobre a mesa sem atrito, como mostra a figura. Se o período do movimento é T, encontre a tensão em cada corda em termos dos dados informados.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a tensão em cada corda (a corda que liga o ponto fixo a
e a corda que liga
a
) em termos dos dados fornecidos.
Informações dadas (peguei estes símbolos da figura e do enunciado):
- massas:
e ; - comprimentos dos cordões:
(do centro até ) e (de até ); - período do movimento:
; - ambos os blocos descrevem movimentos circulares horizontais sem atrito, e o sistema gira com o mesmo período
.
O que precisamos achar:
- tensão na corda interna (entre o centro e
), chamo de ; - tensão na corda externa (entre
e ), chamo de .
Passo 2
Lembrete físico útil (e como vamos usá-lo): para um corpo em movimento circular uniforme com velocidade angular
e raio
, a aceleração centrípeta tem magnitude
Pela segunda lei de Newton, a força resultante radial (direcionada para o centro) é
Aqui cada massa precisa de uma força radial dirigida para o centro que tenha essa magnitude; essa força radial é fornecida pelas tensões das cordas (não há atrito).
Passo 3
Relação entre período
e velocidade angular
. A velocidade angular e o período estão relacionados por
Vou usar essa expressão para escrever as tensões em termos de
no final. Por enquanto trabalho com
para ficar claro o raciocínio.
Passo 4
Definir os raios das trajetórias:
- o bloco
descreve um círculo de raio ; - o bloco
descreve um círculo de raio (porque parte do centro até passa por e soma os dois comprimentos).
Passo 5
Forças sobre
e equação de movimento radial:
- Sobre
a única força horizontal radial é a tensão da corda que o liga a , isto é , dirigida para dentro (para e portanto para o centro).
Aplicandona direção radial para :
Substituindo
temos a forma equivalente (ainda em
):
Passo 6
Forças sobre
e equação de movimento radial:
- Sobre
atuam duas tensões horizontais: (da corda que vai ao centro), dirigida para dentro, e (puxando para fora, exercida por ), dirigida para fora. Não há outras forças horizontais.
A resultante radial dirigida para dentro é. Aplicando para :
Isolando
:
Agora substituo
e a expressão de
do passo anterior:
Fatorando
:
Passo 7
Passando para a forma em termos do período
: substituo
, então
. Assim as tensões ficam
Essas são as expressões finais solicitadas, escritas apenas com os dados do enunciado.