Um bloco de massa m1 está amarrado a um cordão de comprimento L1 fixo por uma extremidade. O bloco se move em um circulo horizontal sobre uma mesa sem atrito. Um segundo bloco de massa m2 é preso ao primeiro por um cordão de comprimento L2, e também se move em um circulo sobre a mesa sem atrito, como mostra a figura. Se o período do movimento é T, encontre a tensão em cada corda em termos dos dados informados.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a tensão em cada corda (a corda que liga o ponto fixo a m_1 e a corda que liga m_1 a m_2) em termos dos dados fornecidos.
Informações dadas (peguei estes símbolos da figura e do enunciado):
  • massas: m_1 e m_2;
  • comprimentos dos cordões: L_1 (do centro até m_1) e L_2 (de m_1 até m_2);
  • período do movimento: T;
  • ambos os blocos descrevem movimentos circulares horizontais sem atrito, e o sistema gira com o mesmo período T.
O que precisamos achar:
  • tensão na corda interna (entre o centro e m_1), chamo de T_1;
  • tensão na corda externa (entre m_1 e m_2), chamo de T_2.

Passo 2

Lembrete físico útil (e como vamos usá-lo): para um corpo em movimento circular uniforme com velocidade angular \omega e raio r, a aceleração centrípeta tem magnitude
a_c=\omega^2 r.
Pela segunda lei de Newton, a força resultante radial (direcionada para o centro) é
F_{\text{rad}}=m a_c = m \omega^2 r.
Aqui cada massa precisa de uma força radial dirigida para o centro que tenha essa magnitude; essa força radial é fornecida pelas tensões das cordas (não há atrito).

Passo 3

Relação entre período T e velocidade angular \omega. A velocidade angular e o período estão relacionados por
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Vou usar essa expressão para escrever as tensões em termos de T no final. Por enquanto trabalho com \omega para ficar claro o raciocínio.

Passo 4

Definir os raios das trajetórias:
  • o bloco m_1 descreve um círculo de raio r_1=L_1;
  • o bloco m_2 descreve um círculo de raio r_2=L_1+L_2 (porque parte do centro até m_2 passa por m_1 e soma os dois comprimentos).

Passo 5

Forças sobre m_2 e equação de movimento radial:
  • Sobre m_2 a única força horizontal radial é a tensão da corda que o liga a m_1, isto é T_2, dirigida para dentro (para m_1 e portanto para o centro).
    Aplicando F=ma na direção radial para m_2:
T_2 = m_2 \, \omega^2 \, r_2.
Substituindo r_2 temos a forma equivalente (ainda em \omega):
T_2 = m_2 \, \omega^2 (L_1+L_2).

Passo 6

Forças sobre m_1 e equação de movimento radial:
  • Sobre m_1 atuam duas tensões horizontais: T_1 (da corda que vai ao centro), dirigida para dentro, e T_2 (puxando m_1 para fora, exercida por m_2), dirigida para fora. Não há outras forças horizontais.
    A resultante radial dirigida para dentro é T_1 - T_2. Aplicando F=ma para m_1:
T_1 - T_2 = m_1 \, \omega^2 \, r_1.
Isolando T_1:
T_1 = m_1 \, \omega^2 \, r_1 + T_2.
Agora substituo r_1=L_1 e a expressão de T_2 do passo anterior:
T_1 = m_1 \, \omega^2 L_1 + m_2 \, \omega^2 (L_1+L_2).
Fatorando \omega^2:
T_1 = \omega^2\bigl(m_1 L_1 + m_2 (L_1+L_2)\bigr).

Passo 7

Passando para a forma em termos do período T: substituo \omega=\dfrac{2\pi}{T}, então \omega^2=\dfrac{4\pi^2}{T^2}. Assim as tensões ficam
T_2 = m_2 \,\frac{4\pi^2}{T^2}\,(L_1+L_2),
T_1 = \frac{4\pi^2}{T^2}\,\bigl(m_1 L_1 + m_2 (L_1+L_2)\bigr).
Essas são as expressões finais solicitadas, escritas apenas com os dados do enunciado.

Resposta

T_1 = \frac{4\pi^2}{T^2}\,\bigl(m_1 L_1 + m_2 (L_1+L_2)\bigr)
T_2 = m_2 \,\frac{4\pi^2}{T^2}\,(L_1+L_2)

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