O bloco da Fig. está em uma superfície horizontal sem atrito e a constante elástica é
. Inicialmente, a mola está relaxada e o bloco está parado no ponto
. Uma força com módulo constante de
é aplicada ao bloco, puxando-o no sentido positivo do eixo
e alongando a mola até o bloco parar. Quando isso acontece, (a) qual é a posição do bloco, (b) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada e (c) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica? Durante o deslocamento do bloco, (d) qual é a posição do bloco na qual a energia cinética é máxima e (e) qual o valor da energia cinética máxima?
Passo 1
Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados ele dá.
O enunciado pergunta:
(a) qual é a posição do bloco quando ele para pela primeira vez (extensão máxima da mola)?
(b) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada (constante) durante esse deslocamento?
(c) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica durante esse deslocamento?
(d) durante o movimento, em que posição a energia cinética do bloco é máxima?
(e) qual é o valor da energia cinética máxima?
(a) qual é a posição do bloco quando ele para pela primeira vez (extensão máxima da mola)?
(b) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada (constante) durante esse deslocamento?
(c) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica durante esse deslocamento?
(d) durante o movimento, em que posição a energia cinética do bloco é máxima?
(e) qual é o valor da energia cinética máxima?
Dados fornecidos (peguei alguns deles da figura enviada):
- constante elástica da mola:
(dado do enunciado). - força externa constante aplicada no sentido positivo do eixo
: (dado do enunciado). - inicialmente a mola está relaxada e o bloco está em
com velocidade nula (peguei isto da figura: etiqueta e mola relaxada). - a superfície é horizontal e sem atrito (dado do enunciado).
Observação: a partir desses dados vamos usar conceitos de trabalho feito por forças, trabalho da mola elástica e o teorema energia-trabalho (variação da energia cinética).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados passo a passo):
- Trabalho de uma força constante paralela ao deslocamento: se uma força constante
age na mesma direção do deslocamento de até , o trabalho é
onde
é o deslocamento total na direção da força. Aqui
é o módulo da força aplicada constante e
será a posição final medida a partir de
.
-
Força elástica da mola (lei de Hooke): a força que a mola exerce é
, onde é a deformação (positivo quando estirada) e o sinal negativo indica que a força da mola é sempre oposta ao deslocamento. -
Trabalho realizado pela força elástica ao ir de
até : calcular por integração porque a força varia com :
Aqui
é a variável de integração; o resultado mostra que o trabalho da mola é negativo quando a mola é alongada (ela retira energia do corpo).
- Teorema trabalho-energia: a variação da energia cinética entre o início (velocidade
) e o fim (velocidade ) é igual ao trabalho total realizado por todas as forças:
No nosso caso, as forças que fazem trabalho são a força constante
e a força elástica da mola. Como não há atrito nem outras forças que façam trabalho, temos
Essas fórmulas e ideias bastam para resolver (a)–(e).
Passo 3
Resolver (a): posição onde o bloco para pela primeira vez (extensão máxima).
No instante inicial
(bloco parado). No ponto onde o bloco para, a energia cinética final também é zero,
. Logo
. Pelo teorema trabalho-energia,
Substituindo as fórmulas de trabalho:
Isolando (e lembrando que
é solução trivial já no início), para a posição não trivial:
Daí a solução não-nula é
Agora substituo os números (usar vírgula para decimais):
Portanto a posição onde o bloco para pela primeira vez (extensão máxima) é
(ou
).
Comentário rápido: intuitivamente, todo o trabalho positivo da força aplicada foi armazenado como energia potencial elástica da mola até que a velocidade caiu a zero.
Passo 4
Resolver (b) e (c): trabalhos realizados até a posição
.
(b) Trabalho da força aplicada (constante):
(c) Trabalho da força elástica:
Calcule passo a passo:
. Multiplicando por
dá
. Metade disso é
. Com o sinal negativo:
Observação de verificação:
, consistente com
.
Passo 5
Resolver (d): posição onde a energia cinética é máxima durante o deslocamento.
A energia cinética em função da posição
(partindo de
com
) é a soma dos trabalhos feitos até
:
Para achar o
que maximiza
derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Substituindo números:
Interpretação física curta: nesse ponto a força resultante sobre o bloco é zero (
), ou seja, a aceleração muda de positiva para negativa; a velocidade atinge o máximo ali.
Passo 6
Resolver (e): valor da energia cinética máxima.
Substituo
em
ou uso a fórmula simplificada:
Calcule numericamente:
Verificação rápida com valores intermediários: em
,
e
, logo
, consistente.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)