O bloco da Fig. está em uma superfície horizontal sem atrito e a constante elástica é 50 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Inicialmente, a mola está relaxada e o bloco está parado no ponto x=0. Uma força com módulo constante de 3,0 \mathrm{~N} é aplicada ao bloco, puxando-o no sentido positivo do eixo x e alongando a mola até o bloco parar. Quando isso acontece, (a) qual é a posição do bloco, (b) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada e (c) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica? Durante o deslocamento do bloco, (d) qual é a posição do bloco na qual a energia cinética é máxima e (e) qual o valor da energia cinética máxima?

Passo 1

Vou deixar claro o que o enunciado pede e quais dados ele dá.
O enunciado pergunta:
(a) qual é a posição do bloco quando ele para pela primeira vez (extensão máxima da mola)?
(b) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força aplicada (constante) durante esse deslocamento?
(c) qual o trabalho realizado sobre o bloco pela força elástica durante esse deslocamento?
(d) durante o movimento, em que posição a energia cinética do bloco é máxima?
(e) qual é o valor da energia cinética máxima?
Dados fornecidos (peguei alguns deles da figura enviada):
  • constante elástica da mola: k=50\\ \mathrm{N/m} (dado do enunciado).
  • força externa constante aplicada no sentido positivo do eixo x: F=3{,}0\\ \mathrm{N} (dado do enunciado).
  • inicialmente a mola está relaxada e o bloco está em x=0 com velocidade nula (peguei isto da figura: etiqueta x=0 e mola relaxada).
  • a superfície é horizontal e sem atrito (dado do enunciado).
Observação: a partir desses dados vamos usar conceitos de trabalho feito por forças, trabalho da mola elástica e o teorema energia-trabalho (variação da energia cinética).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vou usar (explicados passo a passo):
  1. Trabalho de uma força constante paralela ao deslocamento: se uma força constante F age na mesma direção do deslocamento de 0 até x, o trabalho é
W_F = F\cdot x,
onde x é o deslocamento total na direção da força. Aqui F é o módulo da força aplicada constante e x será a posição final medida a partir de 0.
  1. Força elástica da mola (lei de Hooke): a força que a mola exerce é \,F_{\mathrm{mola}} = -k x, onde x é a deformação (positivo quando estirada) e o sinal negativo indica que a força da mola é sempre oposta ao deslocamento.
  2. Trabalho realizado pela força elástica ao ir de x=0 até x: calcular por integração porque a força varia com x:
W_{\mathrm{mola}}=\int_{0}^{x} F_{\mathrm{mola}}(x')\,dx'=\int_{0}^{x} (-k x')\,dx'=-\tfrac{1}{2}k x^{2}.
Aqui x' é a variável de integração; o resultado mostra que o trabalho da mola é negativo quando a mola é alongada (ela retira energia do corpo).
  1. Teorema trabalho-energia: a variação da energia cinética entre o início (velocidade v_0) e o fim (velocidade v) é igual ao trabalho total realizado por todas as forças:
\Delta K = K_{\text{final}}-K_{\text{inicial}} = W_{\text{total}}.
No nosso caso, as forças que fazem trabalho são a força constante F e a força elástica da mola. Como não há atrito nem outras forças que façam trabalho, temos
\Delta K = W_F + W_{\mathrm{mola}}.
Essas fórmulas e ideias bastam para resolver (a)–(e).

Passo 3

Resolver (a): posição onde o bloco para pela primeira vez (extensão máxima).
No instante inicial K_{\text{inicial}}=0 (bloco parado). No ponto onde o bloco para, a energia cinética final também é zero, K_{\text{final}}=0. Logo \Delta K=0. Pelo teorema trabalho-energia,
0 = W_F + W_{\mathrm{mola}}.
Substituindo as fórmulas de trabalho:
0 = F x + \left(-\tfrac{1}{2}k x^{2}\right).
Isolando (e lembrando que x=0 é solução trivial já no início), para a posição não trivial:
F x - \tfrac{1}{2}k x^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad x\left(F-\tfrac{1}{2}k x\right)=0.
Daí a solução não-nula é
x = \dfrac{2F}{k}.
Agora substituo os números (usar vírgula para decimais):
x = \dfrac{2\cdot 3{,}0}{50} = \dfrac{6{,}0}{50}=0,12\\ \mathrm{m}.
Portanto a posição onde o bloco para pela primeira vez (extensão máxima) é \;x=0,12\\ \mathrm{m} (ou 12\\ \mathrm{cm}).
Comentário rápido: intuitivamente, todo o trabalho positivo da força aplicada foi armazenado como energia potencial elástica da mola até que a velocidade caiu a zero.

Passo 4

Resolver (b) e (c): trabalhos realizados até a posição x=0{,}12\\ \mathrm{m}.
(b) Trabalho da força aplicada (constante):
W_F = F x = 3{,}0\cdot 0{,}12 = 0{,}36\\ \mathrm{J}.
(c) Trabalho da força elástica:
W_{\mathrm{mola}} = -\tfrac{1}{2} k x^{2} = -\tfrac{1}{2}\cdot 50\cdot (0{,}12)^{2}.
Calcule passo a passo: (0{,}12)^{2}=0{,}0144. Multiplicando por 50 0{,}72. Metade disso é 0{,}36. Com o sinal negativo:
W_{\mathrm{mola}} = -0{,}36\\ \mathrm{J}.
Observação de verificação: W_F+W_{\mathrm{mola}}=0{,}36-0{,}36=0, consistente com \Delta K=0.

Passo 5

Resolver (d): posição onde a energia cinética é máxima durante o deslocamento.
A energia cinética em função da posição x (partindo de x=0 com K=0) é a soma dos trabalhos feitos até x:
K(x)=W_F(x)+W_{\mathrm{mola}}(x)=F x - \tfrac{1}{2} k x^{2}.
Para achar o x que maximiza K(x) derivamos em relação a x e igualamos a zero:
\frac{dK}{dx}=F - k x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x=\dfrac{F}{k}.
Substituindo números:
x = \dfrac{3{,}0}{50}=0{,}06\\ \mathrm{m}.
Interpretação física curta: nesse ponto a força resultante sobre o bloco é zero ( F-kx=0), ou seja, a aceleração muda de positiva para negativa; a velocidade atinge o máximo ali.

Passo 6

Resolver (e): valor da energia cinética máxima.
Substituo x=F/k em K(x) ou uso a fórmula simplificada:
K_{\max} = F\cdot\frac{F}{k} - \tfrac{1}{2}k\left(\frac{F}{k}\right)^{2} = \frac{F^{2}}{k} - \tfrac{1}{2}\frac{F^{2}}{k} = \tfrac{1}{2}\frac{F^{2}}{k}.
Calcule numericamente:
K_{\max} = \tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{(3{,}0)^{2}}{50} = \tfrac{1}{2}\cdot \dfrac{9{,}0}{50} = \dfrac{4{,}5}{50}=0{,}09\\ \mathrm{J}.
Verificação rápida com valores intermediários: em x=0{,}06\\ \mathrm{m}, W_F=3{,}0\cdot0{,}06=0{,}18\\ \mathrm{J} e W_{\mathrm{mola}}=-0{,}09\\ \mathrm{J}, logo K=0{,}09\\ \mathrm{J}, consistente.

Resposta

(a) x=0,12\\ \mathrm{m}
(b) W_{F}=0,36\\ \mathrm{J}
(c) W_{\mathrm{mola}}=-0,36\\ \mathrm{J}
(d) x_{\text{(K max)}}=0,06\\ \mathrm{m}
(e) K_{\max}=0,09\\ \mathrm{J}

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