Uma pára-quedista de 60,0kg de massa pode reduzir sua rapidez para um valor constante de 90 \mathrm{~km} / \mathrm{h}, posicionando seu corpo horizontalmente, olhando para baixo e mantendo braços e pernas estendidos. Nesta posição, ela expõe a máxima área de seção reta e, assim, maximiza a força de arraste do ar sobre ela. (a) Qual é a magnitude da força de arraste do ar sobre a pára-quedista? (b) Se a força de arraste é dada por bv { }^{2}, qual é o valor de b? (c) Em determinado momento, ela rapidamente altera a sua posição para a posição de “faca”, posicionando seu corpo verticalmente e com os braços apontando para baixo. Suponha, como consequência disto, uma redução de b para 55 por cento de seu valor das partes (a) e (b). Qual é a aceleração que ela passa a ter ao adotar a posição de “faca”?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede três coisas.
Informações dadas:
  • Massa da pára-quedista: 60,0\\ \mathrm{kg}.
  • Rapidez terminal na posição horizontal: 90\\ \mathrm{km/h}.
  • A força de arraste no regime terminal pode ser modelada por b v^{2} (parte (b) pede determinar b usando isso).
  • Na parte (c) o coeficiente b é reduzido a 55\% do valor encontrado nas partes (a)/(b) quando ela muda de posição, e pede a aceleração resultante imediatamente após a mudança (assume-se que a rapidez instantaneamente é ainda 90\\ \mathrm{km/h} no momento da mudança).
O que é pedido:
(a) A magnitude da força de arraste sobre a pára-quedista na posição horizontal (isto é, no regime de velocidade constante de 90\\ \mathrm{km/h}).
(b) O valor do coeficiente b na lei F_{\text{arraste}}=b v^{2}.
(c) A aceleração imediatamente após ela mudar para a posição de “faca”, sabendo que b fica 55\% do valor anterior.

Passo 2

Entender a situação física e a relação básica do regime terminal.
Explicação conceitual (passo-a-passo didático):
  • Quando a pára-quedista atinge uma rapidez constante (velocidade terminal), a aceleração é zero. Logo, a soma das forças verticalmente deve ser zero.
  • As forças verticais são: peso para baixo P = mg e força de arraste para cima F_{\text{arraste}} (a força de arraste aponta oposta ao movimento; como ela está descendo, o arraste aponta para cima).
  • Condição de equilíbrio (velocidade constante): F_{\text{arraste}} = mg.
Isto é fundamental: no terminal, arraste cancela exatamente o peso.

Passo 3

Calculando a força de arraste na posição horizontal (parte (a)).
Primeiro converte a velocidade para unidades SI:
  • 90\\ \mathrm{km/h} = 90 \times \dfrac{1000\\ \mathrm{m}}{3600\\ \mathrm{s}} = 25\\ \mathrm{m/s}.
    (Um truque rápido para prova: dividir por 3{,}6 dá km/h → m/s; 90/3{,}6=25.)
Usando a condição terminal \,F_{\text{arraste}}=mg\,:
m=60{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad g=9{,}80\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Logo
F_{\text{arraste}} = mg = 60{,}0\times 9{,}80 = 588{,}0\\ \mathrm{N}.
Comentário didático: em problemas de queda com resistência do ar, ao ver “velocidade constante” imediatamente escreva F_{\text{arraste}}=mg — isso economiza muito tempo.

Passo 4

Determinar b da relação F_{\text{arraste}}=b v^{2} (parte (b)).
A equação é b v^{2} = mg \quad\Longrightarrow\quad b = \frac{mg}{v^{2}}.
Substituindo mg=588{,}0\\ \mathrm{N} e v=25\\ \mathrm{m/s} (logo v^{2}=625\\ \mathrm{(m/s)^{2}}):
b = \frac{588{,}0}{625}.
Um cálculo simples sem calculadora: 1/625=0{,}0016, então 588\times 0{,}0016 = 0{,}9408.
Portanto
b = 0{,}9408\\ \mathrm{kg/m}.
Explicação de unidades (útil para prova): como F tem unidades \mathrm{N}=\mathrm{kg\,m/s^{2}} e v^{2} tem \mathrm{m^{2}/s^{2}}, temos
[b]=\frac{\mathrm{kg\,m/s^{2}}}{\mathrm{m^{2}/s^{2}}}=\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{m}}.
Então faz sentido escrever b em \mathrm{kg/m}.

Passo 5

Calcular a aceleração imediata após a redução de b para 55\% do valor anterior (parte (c)).
Primeiro o novo b:
b_{\text{novo}} = 0{,}55\,b = 0{,}55\times 0{,}9408 = 0{,}51744\\ \mathrm{kg/m}.
No instante logo após a mudança de posição, a velocidade ainda é v=25\\ \mathrm{m/s} (não muda instantaneamente), mas o arraste diminuiu. A resultante vertical para baixo é
F_{\text{res}} = mg - b_{\text{novo}} v^{2}.
A aceleração correspondente (segunda lei de Newton) é
a = \frac{F_{\text{res}}}{m} = \frac{mg - b_{\text{novo}} v^{2}}{m}.
Substituindo números:
  • mg=588{,}0\\ \mathrm{N}.
  • b_{\text{novo}} v^{2} = 0{,}51744\times 625. Calcule: 0{,}51744\times 625 = 323{,}4\\ \mathrm{N}.
  • Logo F_{\text{res}} = 588{,}0 - 323{,}4 = 264{,}6\\ \mathrm{N}.
Portanto
a = \frac{264{,}6}{60{,}0} = 4{,}41\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Interpretação: a aceleração é para baixo (aumenta a rapidez de queda) com magnitude 4{,}41\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Resposta

(a) 588{,}0\\ \mathrm{N}
(b) 0{,}9408\\ \mathrm{kg/m} (aprox. 0{,}941\\ \mathrm{kg/m})
(c) 4{,}41\\ \mathrm{m/s^{2}} (para baixo)

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