Um bloco de massa 2,0 \mathrm{~kg} desce uma rampa lisa a partir do repouso, partindo de uma altura desconhecida h . Ao final da rampa, ele percorre uma superfície horizontal lisa de 3,0 m e, em seguida, comprime uma mola de constante elástica \mathrm{k}=4,0 \times 10^{3} \mathrm{~N} / \mathrm{m}, atingindo compressão máxima de 12 cm .
A seguir, considere que a superfície horizontal seja substituída por outra com atrito \mu=0,15 e mesmo comprimento.
(a) Calcule a altura h necessária para produzir a compressão de 12 cm na primeira situação (sem atrito).
(b) Determine a energia mecânica do bloco no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola.
(c) Com a presença de atrito (\mu=0,15), calcule a nova compressão máxima da mola.

Passo 1

O enunciado pede três coisas: (a) a altura h da qual o bloco deve partir para comprimir a mola x=12\\ \mathrm{cm} na primeira situação (sem atrito); (b) a energia mecânica do bloco no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola; (c) com atrito \mu=0,15 na superfície horizontal (mesmo comprimento 3,0\\ \mathrm{m}), a nova compressão máxima da mola.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
m=2{,}0\\ \mathrm{kg},\qquad k=4{,}0\times10^{3}\\ \mathrm{N/m},\qquad x=0{,}12\\ \mathrm{m},
L=3{,}0\\ \mathrm{m},\qquad \mu=0{,}15.
Vou usar a aceleração da gravidade \;g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^{2}}\; (assunção padrão).
Atenção: nesta etapa só identifiquei o que é pedido e os dados; ainda não resolvi nada.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicação didática): conservação da energia mecânica sem atrito.
  • Energia potencial gravitacional é dada por \;U=mgh\;, onde m é a massa, g a gravidade e h a altura.
  • Energia elástica da mola no ponto de compressão x é \;E_{\text{mol}}=\tfrac{1}{2}kx^{2}\;, onde k é a constante elástica.
    Sem atrito, toda a energia potencial inicial vira energia elástica final quando o bloco comprime a mola ao máximo (assumindo que a mola começa descomprimida e que o bloco parte do repouso). Assim:
mgh=\tfrac{1}{2}kx^{2}.
Dessa equação isolamos h:
h=\frac{kx^{2}}{2mg}.

Passo 3

Cálculo numérico da altura h (aplicando a fórmula obtida). Primeiro calcule kx^{2}:
kx^{2} = 4{,}0\times10^{3}\times(0{,}12)^{2}=4{,}0\times10^{3}\times0{,}0144=57{,}6\\ \mathrm{J}.
Agora divida por 2mg:
2mg=2\times2{,}0\times9{,}8=39{,}2\\ \mathrm{N\cdot m / m}=39{,}2.
Logo
h=\frac{57{,}6}{39{,}2}=1{,}469\ldots\\ \mathrm{m}\approx1{,}47\\ \mathrm{m}.
Interpretação rápida: precisa partir de aproximadamente 1{,}47\\ \mathrm{m} para ter energia suficiente de comprimir a mola 0{,}12\\ \mathrm{m}.

Passo 4

Energia mecânica no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola (parte b).
Explicação das energias: no topo a energia mecânica total é puramente potencial:
E_{\text{topo}}=mgh.
Imediatamente antes de tocar a mola, como não há atrito na primeira situação, toda a energia potencial foi transformada em energia cinética, mas a energia mecânica total (potencial+cinética) tem o mesmo valor num sistema sem perdas. Quando o bloco está prestes a comprimir a mola, sua energia mecânica disponível para comprimir a mola é igual a E_{\text{topo}}, e essa energia é igual à energia máxima armazenada na mola \tfrac{1}{2}kx^{2}. Já calculamos \tfrac{1}{2}kx^{2} em números no passo anterior (metade de 57{,}6\\ \mathrm{J}).
Calcule \tfrac{1}{2}kx^{2}:
\tfrac{1}{2}kx^{2}=0{,}5\times57{,}6=28{,}8\\ \mathrm{J}.
Portanto:
E_{\text{topo}}=28{,}8\\ \mathrm{J},\qquad E_{\text{antes da mola}}=28{,}8\\ \mathrm{J}.
(Se quiser, a velocidade imediatamente antes da mola pode ser obtida por K=\tfrac{1}{2}mv^{2}=28{,}8\\ \mathrm{J}\Rightarrow v=\sqrt{\tfrac{2K}{m}}=\sqrt{\tfrac{2\times28{,}8}{2{,}0}}=\sqrt{28{,}8}\approx5{,}37\\ \mathrm{m/s}. Isso é um extra para intuir a situação.)

Passo 5

Agora a situação com atrito \mu=0{,}15 ao longo da superfície horizontal de comprimento L=3{,}0\\ \mathrm{m} (parte c).
Conceito do trabalho da força de atrito: a força de atrito cinético (aqui presumimos movimento) é \;F_{\text{at}}=\mu N=\mu mg\; porque a normal vale N=mg sobre superfície horizontal. O trabalho negativo realizado pelo atrito ao longo da distância L é
W_{\text{at}}=-F_{\text{at}}L=-\mu mgL.
Energia disponível para comprimir a mola será a energia inicial mgh menos o trabalho perdido por atrito:
\tfrac{1}{2}k{x'}^{2}=mgh-\mu mgL.
Aqui x' é a nova compressão máxima. Já sabemos mgh= 28{,}8\\ \mathrm{J} (do caso sem atrito). Calcule o trabalho do atrito:
\mu mgL=0{,}15\times2{,}0\times9{,}8\times3{,}0.
Calcule passo a passo:
mg=2{,}0\times9{,}8=19{,}6\\ \mathrm{N},
\mu mg=0{,}15\times19{,}6=2{,}94\\ \mathrm{N},
\mu mgL=2{,}94\times3{,}0=8{,}82\\ \mathrm{J}.
Energia restante para a mola:
\tfrac{1}{2}k{x'}^{2}=28{,}8-8{,}82=19{,}98\\ \mathrm{J}\approx19{,}98\\ \mathrm{J}.
Isolando x':
{x'}^{2}=\frac{2(19{,}98)}{k}=\frac{39{,}96}{4{,}0\times10^{3}}=0{,}00999,
x'=\sqrt{0{,}00999}=0{,}09995\\ \mathrm{m}\approx0{,}100\\ \mathrm{m}.
Em centímetros isso é 10{,}0\\ \mathrm{cm}. Interpretação: o atrito retirou energia suficiente para reduzir a compressão de 12{,}0\\ \mathrm{cm} para cerca de 10{,}0\\ \mathrm{cm}.

Resposta

(a) h=1{,}47\\ \mathrm{m}
(b) E_{\text{topo}}=28{,}8\\ \mathrm{J} e E_{\text{antes da mola}}=28{,}8\\ \mathrm{J}
(c) x'=0{,}100\\ \mathrm{m} (ou 10{,}0\\ \mathrm{cm})

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