Um bloco de massa
desce uma rampa lisa a partir do repouso, partindo de uma altura desconhecida h . Ao final da rampa, ele percorre uma superfície horizontal lisa de 3,0 m e, em seguida, comprime uma mola de constante elástica
, atingindo compressão máxima de 12 cm .
A seguir, considere que a superfície horizontal seja substituída por outra com atrito
e mesmo comprimento.
(a) Calcule a altura h necessária para produzir a compressão de 12 cm na primeira situação (sem atrito).
(b) Determine a energia mecânica do bloco no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola.
(c) Com a presença de atrito
, calcule a nova compressão máxima da mola.
(a) Calcule a altura h necessária para produzir a compressão de 12 cm na primeira situação (sem atrito).
(b) Determine a energia mecânica do bloco no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola.
(c) Com a presença de atrito
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (a) a altura
da qual o bloco deve partir para comprimir a mola
na primeira situação (sem atrito); (b) a energia mecânica do bloco no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola; (c) com atrito
na superfície horizontal (mesmo comprimento
), a nova compressão máxima da mola.
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Vou usar a aceleração da gravidade
(assunção padrão).
Atenção: nesta etapa só identifiquei o que é pedido e os dados; ainda não resolvi nada.
Atenção: nesta etapa só identifiquei o que é pedido e os dados; ainda não resolvi nada.
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicação didática): conservação da energia mecânica sem atrito.
- Energia potencial gravitacional é dada por
, onde é a massa, a gravidade e a altura. - Energia elástica da mola no ponto de compressão
é , onde é a constante elástica.
Sem atrito, toda a energia potencial inicial vira energia elástica final quando o bloco comprime a mola ao máximo (assumindo que a mola começa descomprimida e que o bloco parte do repouso). Assim:
Dessa equação isolamos
:
Passo 3
Cálculo numérico da altura
(aplicando a fórmula obtida). Primeiro calcule
:
Agora divida por
:
Logo
Interpretação rápida: precisa partir de aproximadamente
para ter energia suficiente de comprimir a mola
.
Passo 4
Energia mecânica no topo da rampa e imediatamente antes de tocar a mola (parte b).
Explicação das energias: no topo a energia mecânica total é puramente potencial:
Explicação das energias: no topo a energia mecânica total é puramente potencial:
Imediatamente antes de tocar a mola, como não há atrito na primeira situação, toda a energia potencial foi transformada em energia cinética, mas a energia mecânica total (potencial+cinética) tem o mesmo valor num sistema sem perdas. Quando o bloco está prestes a comprimir a mola, sua energia mecânica disponível para comprimir a mola é igual a
, e essa energia é igual à energia máxima armazenada na mola
. Já calculamos
em números no passo anterior (metade de
).
Calcule
:
Portanto:
(Se quiser, a velocidade imediatamente antes da mola pode ser obtida por
. Isso é um extra para intuir a situação.)
Passo 5
Agora a situação com atrito
ao longo da superfície horizontal de comprimento
(parte c).
Conceito do trabalho da força de atrito: a força de atrito cinético (aqui presumimos movimento) é porque a normal vale
sobre superfície horizontal. O trabalho negativo realizado pelo atrito ao longo da distância
é
Conceito do trabalho da força de atrito: a força de atrito cinético (aqui presumimos movimento) é
Energia disponível para comprimir a mola será a energia inicial
menos o trabalho perdido por atrito:
Aqui
é a nova compressão máxima. Já sabemos
(do caso sem atrito). Calcule o trabalho do atrito:
Calcule passo a passo:
Energia restante para a mola:
Isolando
:
Em centímetros isso é
. Interpretação: o atrito retirou energia suficiente para reduzir a compressão de
para cerca de
.
Resposta
(a)
(b) e
(c) (ou
)
(b)
(c)